Selesaikan {l}{-x+2y=17}{2x+2y=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + 2 y = 17 } \\ { 2 x + 2 y = - 10 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-9$$

$$y=4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-x+2y=17,2x+2y=-10$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-x+2y=17$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-2y+17$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=-\left(-2y+17\right)$$

Darabkan -1 kali -2y+17.

$$x=2y-17$$

Gantikan 2y-17 dengan x dalam persamaan lain, 2x+2y=-10.

$$2\left(2y-17\right)+2y=-10$$

Darabkan 2 kali 2y-17.

$$4y-34+2y=-10$$

Tambahkan 4y pada 2y.

$$6y-34=-10$$

Tambahkan 34 pada kedua-dua belah persamaan.

$$6y=24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam x=2y-17. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=2\times 4-17$$

Darabkan 2 kali 4.

$$x=8-17$$

Tambahkan -17 pada 8.

$$x=-9$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-9,y=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-x+2y=17,2x+2y=-10$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-2\times 2}&-\frac{2}{-2-2\times 2}\\-\frac{2}{-2-2\times 2}&-\frac{1}{-2-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 17+\frac{1}{3}\left(-10\right)\\\frac{1}{3}\times 17+\frac{1}{6}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-9,y=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-x+2y=17,2x+2y=-10$$

Tolak 2x+2y=-10 daripada -x+2y=17 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-x-2x+2y-2y=17+10$$

Tambahkan 2y pada -2y. Seubtan 2y dan -2y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-x-2x=17+10$$

Tambahkan -x pada -2x.

$$-3x=17+10$$

Tambahkan 17 pada 10.

$$-3x=27$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=-9$$

Gantikan -9 dengan x dalam 2x+2y=-10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$2\left(-9\right)+2y=-10$$

Darabkan 2 kali -9.

$$-18+2y=-10$$

Tambahkan 18 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-9,y=4$$