Selesaikan {l}{-x+3/4y=7}{4x-y=-16}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + \frac { 3 } { 4 } y = 7 } \\ { 4 x - y = - 16 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y=6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-x+\frac{3}{4}y=7,4x-y=-16$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-x+\frac{3}{4}y=7$$

Tolak \frac{3y}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-\frac{3}{4}y+7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=-\left(-\frac{3}{4}y+7\right)$$

Darabkan -1 kali -\frac{3y}{4}+7.

$$x=\frac{3}{4}y-7$$

Gantikan \frac{3y}{4}-7 dengan x dalam persamaan lain, 4x-y=-16.

$$4\left(\frac{3}{4}y-7\right)-y=-16$$

Darabkan 4 kali \frac{3y}{4}-7.

$$3y-28-y=-16$$

Tambahkan 3y pada -y.

$$2y-28=-16$$

Tambahkan 28 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=6$$

Gantikan 6 dengan y dalam x=\frac{3}{4}y-7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{4}\times 6-7$$

Darabkan \frac{3}{4} kali 6.

$$x=\frac{9}{2}-7$$

Tambahkan -7 pada \frac{9}{2}.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{5}{2},y=6$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-x+\frac{3}{4}y=7,4x-y=-16$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-\left(-1\right)-\frac{3}{4}\times 4}&-\frac{\frac{3}{4}}{-\left(-1\right)-\frac{3}{4}\times 4}\\-\frac{4}{-\left(-1\right)-\frac{3}{4}\times 4}&-\frac{1}{-\left(-1\right)-\frac{3}{4}\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{3}{8}\\2&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{8}\left(-16\right)\\2\times 7+\frac{1}{2}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\6\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{5}{2},y=6$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-x+\frac{3}{4}y=7,4x-y=-16$$

Untuk menjadikan -x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -1.

$$4\left(-1\right)x+4\times \frac{3}{4}y=4\times 7,-4x-\left(-y\right)=-\left(-16\right)$$

Permudahkan.

$$-4x+3y=28,-4x+y=16$$

Tolak -4x+y=16 daripada -4x+3y=28 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-4x+4x+3y-y=28-16$$

Tambahkan -4x pada 4x. Seubtan -4x dan 4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3y-y=28-16$$

Tambahkan 3y pada -y.

$$2y=28-16$$

Tambahkan 28 pada -16.

$$2y=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=6$$

Gantikan 6 dengan y dalam 4x-y=-16. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x-6=-16$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{5}{2},y=6$$