Selesaikan {l}{-9x-y=-3}{-8x+2y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - y = - 3 } \\ { - 8 x + 2 y = - 20 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=-6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-9x-y=-3$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$-9x=y-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -9.

$$x=-\frac{1}{9}\left(y-3\right)$$

Darabkan -\frac{1}{9} kali y-3.

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3}$$

Gantikan -\frac{y}{9}+\frac{1}{3} dengan x dalam persamaan lain, -8x+2y=-20.

$$-8\left(-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3}\right)+2y=-20$$

Darabkan -8 kali -\frac{y}{9}+\frac{1}{3}.

$$\frac{8}{9}y-\frac{8}{3}+2y=-20$$

Tambahkan \frac{8y}{9} pada 2y.

$$\frac{26}{9}y-\frac{8}{3}=-20$$

Tambahkan \frac{8}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{26}{9}y=-\frac{52}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{26}{9} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-6$$

Gantikan -6 dengan y dalam x=-\frac{1}{9}y+\frac{1}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-6\right)+\frac{1}{3}$$

Darabkan -\frac{1}{9} kali -6.

$$x=\frac{2+1}{3}$$

Tambahkan \frac{1}{3} pada \frac{2}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-6$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}&-\frac{-1}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}&-\frac{9}{-9\times 2-\left(-\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{1}{26}\\-\frac{4}{13}&\frac{9}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-3\right)-\frac{1}{26}\left(-20\right)\\-\frac{4}{13}\left(-3\right)+\frac{9}{26}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-6\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=-6$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-9x-y=-3,-8x+2y=-20$$

Untuk menjadikan -9x dan -8x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -8 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -9.

$$-8\left(-9\right)x-8\left(-1\right)y=-8\left(-3\right),-9\left(-8\right)x-9\times 2y=-9\left(-20\right)$$

Permudahkan.

$$72x+8y=24,72x-18y=180$$

Tolak 72x-18y=180 daripada 72x+8y=24 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$72x-72x+8y+18y=24-180$$

Tambahkan 72x pada -72x. Seubtan 72x dan -72x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$8y+18y=24-180$$

Tambahkan 8y pada 18y.

$$26y=24-180$$

Tambahkan 24 pada -180.

$$26y=-156$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 26.

$$y=-6$$

Gantikan -6 dengan y dalam -8x+2y=-20. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-8x+2\left(-6\right)=-20$$

Darabkan 2 kali -6.

$$-8x-12=-20$$

Tambahkan 12 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-8x=-8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -8.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-6$$