Selesaikan {l}{-9x-y=-14}{-x-5y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - y = - 14 } \\ { - x - 5 y = 18 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=-4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-9x-y=-14,-x-5y=18$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-9x-y=-14$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$-9x=y-14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -9.

$$x=-\frac{1}{9}\left(y-14\right)$$

Darabkan -\frac{1}{9} kali y-14.

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{14}{9}$$

Gantikan \frac{-y+14}{9} dengan x dalam persamaan lain, -x-5y=18.

$$-\left(-\frac{1}{9}y+\frac{14}{9}\right)-5y=18$$

Darabkan -1 kali \frac{-y+14}{9}.

$$\frac{1}{9}y-\frac{14}{9}-5y=18$$

Tambahkan \frac{y}{9} pada -5y.

$$-\frac{44}{9}y-\frac{14}{9}=18$$

Tambahkan \frac{14}{9} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{44}{9}y=\frac{176}{9}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{44}{9} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-4$$

Gantikan -4 dengan y dalam x=-\frac{1}{9}y+\frac{14}{9}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-4\right)+\frac{14}{9}$$

Darabkan -\frac{1}{9} kali -4.

$$x=\frac{4+14}{9}$$

Tambahkan \frac{14}{9} pada \frac{4}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-9x-y=-14,-x-5y=18$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-9\left(-5\right)-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{-9\left(-5\right)-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-9\left(-5\right)-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{9}{-9\left(-5\right)-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{44}&\frac{1}{44}\\\frac{1}{44}&-\frac{9}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{44}\left(-14\right)+\frac{1}{44}\times 18\\\frac{1}{44}\left(-14\right)-\frac{9}{44}\times 18\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=-4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-9x-y=-14,-x-5y=18$$

Untuk menjadikan -9x dan -x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -9.

$$-\left(-9\right)x-\left(-y\right)=-\left(-14\right),-9\left(-1\right)x-9\left(-5\right)y=-9\times 18$$

Permudahkan.

$$9x+y=14,9x+45y=-162$$

Tolak 9x+45y=-162 daripada 9x+y=14 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$9x-9x+y-45y=14+162$$

Tambahkan 9x pada -9x. Seubtan 9x dan -9x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y-45y=14+162$$

Tambahkan y pada -45y.

$$-44y=14+162$$

Tambahkan 14 pada 162.

$$-44y=176$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -44.

$$y=-4$$

Gantikan -4 dengan y dalam -x-5y=18. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-x-5\left(-4\right)=18$$

Darabkan -5 kali -4.

$$-x+20=18$$

Tolak 20 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-4$$