Selesaikan {l}{-9x-7y=17}{10x+7y=-15}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - 7 y = 17 } \\ { 10 x + 7 y = - 15 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=-5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-9x-7y=17,10x+7y=-15$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-9x-7y=17$$

Tambahkan 7y pada kedua-dua belah persamaan.

$$-9x=7y+17$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -9.

$$x=-\frac{1}{9}\left(7y+17\right)$$

Darabkan -\frac{1}{9} kali 7y+17.

$$x=-\frac{7}{9}y-\frac{17}{9}$$

Gantikan \frac{-7y-17}{9} dengan x dalam persamaan lain, 10x+7y=-15.

$$10\left(-\frac{7}{9}y-\frac{17}{9}\right)+7y=-15$$

Darabkan 10 kali \frac{-7y-17}{9}.

$$-\frac{70}{9}y-\frac{170}{9}+7y=-15$$

Tambahkan -\frac{70y}{9} pada 7y.

$$-\frac{7}{9}y-\frac{170}{9}=-15$$

Tambahkan \frac{170}{9} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{7}{9}y=\frac{35}{9}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{7}{9} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-5$$

Gantikan -5 dengan y dalam x=-\frac{7}{9}y-\frac{17}{9}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{7}{9}\left(-5\right)-\frac{17}{9}$$

Darabkan -\frac{7}{9} kali -5.

$$x=\frac{35-17}{9}$$

Tambahkan -\frac{17}{9} pada \frac{35}{9} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-9x-7y=17,10x+7y=-15$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}&-\frac{-7}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}\\-\frac{10}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}&-\frac{9}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{10}{7}&-\frac{9}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17-15\\-\frac{10}{7}\times 17-\frac{9}{7}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=-5$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-9x-7y=17,10x+7y=-15$$

Untuk menjadikan -9x dan 10x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 10 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -9.

$$10\left(-9\right)x+10\left(-7\right)y=10\times 17,-9\times 10x-9\times 7y=-9\left(-15\right)$$

Permudahkan.

$$-90x-70y=170,-90x-63y=135$$

Tolak -90x-63y=135 daripada -90x-70y=170 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-90x+90x-70y+63y=170-135$$

Tambahkan -90x pada 90x. Seubtan -90x dan 90x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-70y+63y=170-135$$

Tambahkan -70y pada 63y.

$$-7y=170-135$$

Tambahkan 170 pada -135.

$$-7y=35$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$y=-5$$

Gantikan -5 dengan y dalam 10x+7y=-15. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$10x+7\left(-5\right)=-15$$

Darabkan 7 kali -5.

$$10x-35=-15$$

Tambahkan 35 pada kedua-dua belah persamaan.

$$10x=20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=-5$$