Selesaikan {l}{-9x+6y=13}{cx+8y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x + 6 y = 13 } \\ { c x + 8 y = - 12 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

$$y=-\frac{108-13c}{6\left(c+12\right)}$$

$$c\neq -12$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-9x+6y=13$$

Tolak 6y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-9x=-6y+13$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -9.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-6y+13\right)$$

Darabkan -\frac{1}{9} kali -6y+13.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}$$

Gantikan \frac{2y}{3}-\frac{13}{9} dengan x dalam persamaan lain, cx+8y=-12.

$$c\left(\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}\right)+8y=-12$$

Darabkan c kali \frac{2y}{3}-\frac{13}{9}.

$$\frac{2c}{3}y-\frac{13c}{9}+8y=-12$$

Tambahkan \frac{2cy}{3} pada 8y.

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y-\frac{13c}{9}=-12$$

Tambahkan \frac{13c}{9} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y=\frac{13c}{9}-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan \frac{2c}{3}+8.

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

Gantikan \frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)} dengan y dalam x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

Darabkan \frac{2}{3} kali \frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)}.

$$x=\frac{13c-108}{9\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

Tambahkan -\frac{13}{9} pada \frac{-108+13c}{9\left(c+12\right)}.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-9\times 8-6c}&-\frac{6}{-9\times 8-6c}\\-\frac{c}{-9\times 8-6c}&-\frac{9}{-9\times 8-6c}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(c+12\right)}&\frac{1}{c+12}\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}&\frac{3}{2\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{3\left(c+12\right)}\right)\times 13+\frac{1}{c+12}\left(-12\right)\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}\times 13+\frac{3}{2\left(c+12\right)}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{88}{3\left(c+12\right)}\\\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

Untuk menjadikan -9x dan cx sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan c dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -9.

$$c\left(-9\right)x+c\times 6y=c\times 13,-9cx-9\times 8y=-9\left(-12\right)$$

Permudahkan.

$$\left(-9c\right)x+6cy=13c,\left(-9c\right)x-72y=108$$

Tolak \left(-9c\right)x-72y=108 daripada \left(-9c\right)x+6cy=13c dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$\left(-9c\right)x+9cx+6cy+72y=13c-108$$

Tambahkan -9cx pada 9cx. Seubtan -9cx dan 9cx saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$6cy+72y=13c-108$$

Tambahkan 6cy pada 72y.

$$\left(6c+72\right)y=13c-108$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 72+6c.

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

Gantikan \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)} dengan y dalam cx+8y=-12. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$cx+8\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}=-12$$

Darabkan 8 kali \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}.

$$cx+\frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)}=-12$$

Tolak \frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$cx=-\frac{88c}{3\left(c+12\right)}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan c.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$