Selesaikan {l}{-8x-6y=30}{-6x+2y=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x - 6 y = 30 } \\ { - 6 x + 2 y = - 10 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=0$$

$$y=-5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-8x-6y=30,-6x+2y=-10$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-8x-6y=30$$

Tambahkan 6y pada kedua-dua belah persamaan.

$$-8x=6y+30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(6y+30\right)$$

Darabkan -\frac{1}{8} kali 30+6y.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}$$

Gantikan \frac{-3y-15}{4} dengan x dalam persamaan lain, -6x+2y=-10.

$$-6\left(-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}\right)+2y=-10$$

Darabkan -6 kali \frac{-3y-15}{4}.

$$\frac{9}{2}y+\frac{45}{2}+2y=-10$$

Tambahkan \frac{9y}{2} pada 2y.

$$\frac{13}{2}y+\frac{45}{2}=-10$$

Tolak \frac{45}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{13}{2}y=-\frac{65}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{13}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-5$$

Gantikan -5 dengan y dalam x=-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-5\right)-\frac{15}{4}$$

Darabkan -\frac{3}{4} kali -5.

$$x=\frac{15-15}{4}$$

Tambahkan -\frac{15}{4} pada \frac{15}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=-5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-8x-6y=30,-6x+2y=-10$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-8\times 2-\left(-6\left(-6\right)\right)}&-\frac{-6}{-8\times 2-\left(-6\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{-8\times 2-\left(-6\left(-6\right)\right)}&-\frac{8}{-8\times 2-\left(-6\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{26}&-\frac{3}{26}\\-\frac{3}{26}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{26}\times 30-\frac{3}{26}\left(-10\right)\\-\frac{3}{26}\times 30+\frac{2}{13}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=0,y=-5$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-8x-6y=30,-6x+2y=-10$$

Untuk menjadikan -8x dan -6x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -8.

$$-6\left(-8\right)x-6\left(-6\right)y=-6\times 30,-8\left(-6\right)x-8\times 2y=-8\left(-10\right)$$

Permudahkan.

$$48x+36y=-180,48x-16y=80$$

Tolak 48x-16y=80 daripada 48x+36y=-180 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$48x-48x+36y+16y=-180-80$$

Tambahkan 48x pada -48x. Seubtan 48x dan -48x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$36y+16y=-180-80$$

Tambahkan 36y pada 16y.

$$52y=-180-80$$

Tambahkan -180 pada -80.

$$52y=-260$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 52.

$$y=-5$$

Gantikan -5 dengan y dalam -6x+2y=-10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-6x+2\left(-5\right)=-10$$

Darabkan 2 kali -5.

$$-6x-10=-10$$

Tambahkan 10 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-6x=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=-5$$