Selesaikan {l}{-8x-6y=-10}{x-y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x - 6 y = - 10 } \\ { x - y = 17 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=8$$

$$y=-9$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-8x-6y=-10,x-y=17$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-8x-6y=-10$$

Tambahkan 6y pada kedua-dua belah persamaan.

$$-8x=6y-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(6y-10\right)$$

Darabkan -\frac{1}{8} kali 6y-10.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}$$

Gantikan \frac{-3y+5}{4} dengan x dalam persamaan lain, x-y=17.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}-y=17$$

Tambahkan -\frac{3y}{4} pada -y.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{5}{4}=17$$

Tolak \frac{5}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{7}{4}y=\frac{63}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{7}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-9$$

Gantikan -9 dengan y dalam x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-9\right)+\frac{5}{4}$$

Darabkan -\frac{3}{4} kali -9.

$$x=\frac{27+5}{4}$$

Tambahkan \frac{5}{4} pada \frac{27}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=8,y=-9$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-8x-6y=-10,x-y=17$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-8\left(-1\right)-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{-8\left(-1\right)-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{-8\left(-1\right)-\left(-6\right)}&-\frac{8}{-8\left(-1\right)-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{14}&-\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\left(-10\right)+\frac{3}{7}\times 17\\-\frac{1}{14}\left(-10\right)-\frac{4}{7}\times 17\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-9\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=8,y=-9$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-8x-6y=-10,x-y=17$$

Untuk menjadikan -8x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -8.

$$-8x-6y=-10,-8x-8\left(-1\right)y=-8\times 17$$

Permudahkan.

$$-8x-6y=-10,-8x+8y=-136$$

Tolak -8x+8y=-136 daripada -8x-6y=-10 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-8x+8x-6y-8y=-10+136$$

Tambahkan -8x pada 8x. Seubtan -8x dan 8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-6y-8y=-10+136$$

Tambahkan -6y pada -8y.

$$-14y=-10+136$$

Tambahkan -10 pada 136.

$$-14y=126$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -14.

$$y=-9$$

Gantikan -9 dengan y dalam x-y=17. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-\left(-9\right)=17$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=8,y=-9$$