Selesaikan {l}{-8x+7y=13}{7x-9y=-20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 7 y = 13 } \\ { 7 x - 9 y = - 20 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-8x+7y=13$$

Tolak 7y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-8x=-7y+13$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-7y+13\right)$$

Darabkan -\frac{1}{8} kali -7y+13.

$$x=\frac{7}{8}y-\frac{13}{8}$$

Gantikan \frac{7y-13}{8} dengan x dalam persamaan lain, 7x-9y=-20.

$$7\left(\frac{7}{8}y-\frac{13}{8}\right)-9y=-20$$

Darabkan 7 kali \frac{7y-13}{8}.

$$\frac{49}{8}y-\frac{91}{8}-9y=-20$$

Tambahkan \frac{49y}{8} pada -9y.

$$-\frac{23}{8}y-\frac{91}{8}=-20$$

Tambahkan \frac{91}{8} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{23}{8}y=-\frac{69}{8}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{23}{8} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x=\frac{7}{8}y-\frac{13}{8}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{7}{8}\times 3-\frac{13}{8}$$

Darabkan \frac{7}{8} kali 3.

$$x=\frac{21-13}{8}$$

Tambahkan -\frac{13}{8} pada \frac{21}{8} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-8\left(-9\right)-7\times 7}&-\frac{7}{-8\left(-9\right)-7\times 7}\\-\frac{7}{-8\left(-9\right)-7\times 7}&-\frac{8}{-8\left(-9\right)-7\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{23}&-\frac{7}{23}\\-\frac{7}{23}&-\frac{8}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{23}\times 13-\frac{7}{23}\left(-20\right)\\-\frac{7}{23}\times 13-\frac{8}{23}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-8x+7y=13,7x-9y=-20$$

Untuk menjadikan -8x dan 7x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -8.

$$7\left(-8\right)x+7\times 7y=7\times 13,-8\times 7x-8\left(-9\right)y=-8\left(-20\right)$$

Permudahkan.

$$-56x+49y=91,-56x+72y=160$$

Tolak -56x+72y=160 daripada -56x+49y=91 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-56x+56x+49y-72y=91-160$$

Tambahkan -56x pada 56x. Seubtan -56x dan 56x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$49y-72y=91-160$$

Tambahkan 49y pada -72y.

$$-23y=91-160$$

Tambahkan 91 pada -160.

$$-23y=-69$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -23.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam 7x-9y=-20. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$7x-9\times 3=-20$$

Darabkan -9 kali 3.

$$7x-27=-20$$

Tambahkan 27 pada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=3$$