Selesaikan {l}{-8x+7y=-9}{-9x+7y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 7 y = - 9 } \\ { - 9 x + 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=9$$

$$y=9$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-8x+7y=-9,-9x+7y=-18$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-8x+7y=-9$$

Tolak 7y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-8x=-7y-9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-7y-9\right)$$

Darabkan -\frac{1}{8} kali -7y-9.

$$x=\frac{7}{8}y+\frac{9}{8}$$

Gantikan \frac{7y+9}{8} dengan x dalam persamaan lain, -9x+7y=-18.

$$-9\left(\frac{7}{8}y+\frac{9}{8}\right)+7y=-18$$

Darabkan -9 kali \frac{7y+9}{8}.

$$-\frac{63}{8}y-\frac{81}{8}+7y=-18$$

Tambahkan -\frac{63y}{8} pada 7y.

$$-\frac{7}{8}y-\frac{81}{8}=-18$$

Tambahkan \frac{81}{8} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{7}{8}y=-\frac{63}{8}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{7}{8} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=9$$

Gantikan 9 dengan y dalam x=\frac{7}{8}y+\frac{9}{8}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{7}{8}\times 9+\frac{9}{8}$$

Darabkan \frac{7}{8} kali 9.

$$x=\frac{63+9}{8}$$

Tambahkan \frac{9}{8} pada \frac{63}{8} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=9$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=9,y=9$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-8x+7y=-9,-9x+7y=-18$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-8\times 7-7\left(-9\right)}&-\frac{7}{-8\times 7-7\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{-8\times 7-7\left(-9\right)}&-\frac{8}{-8\times 7-7\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{9}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9-\left(-18\right)\\\frac{9}{7}\left(-9\right)-\frac{8}{7}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=9,y=9$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-8x+7y=-9,-9x+7y=-18$$

Tolak -9x+7y=-18 daripada -8x+7y=-9 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-8x+9x+7y-7y=-9+18$$

Tambahkan 7y pada -7y. Seubtan 7y dan -7y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-8x+9x=-9+18$$

Tambahkan -8x pada 9x.

$$x=-9+18$$

Tambahkan -9 pada 18.

$$x=9$$

Gantikan 9 dengan x dalam -9x+7y=-18. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$-9\times 9+7y=-18$$

Darabkan -9 kali 9.

$$-81+7y=-18$$

Tambahkan 81 pada kedua-dua belah persamaan.

$$7y=63$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$y=9$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=9,y=9$$