Selesaikan {l}{-8x+4y=8}{8x-y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 8 } \\ { 8 x - y = 16 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=8$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-8x+4y=8$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-8x=-4y+8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+8\right)$$

Darabkan -\frac{1}{8} kali -4y+8.

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

Gantikan \frac{y}{2}-1 dengan x dalam persamaan lain, 8x-y=16.

$$8\left(\frac{1}{2}y-1\right)-y=16$$

Darabkan 8 kali \frac{y}{2}-1.

$$4y-8-y=16$$

Tambahkan 4y pada -y.

$$3y-8=16$$

Tambahkan 8 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3y=24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=8$$

Gantikan 8 dengan y dalam x=\frac{1}{2}y-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{2}\times 8-1$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 8.

$$x=4-1$$

Tambahkan -1 pada 4.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=8$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-8\left(-1\right)-4\times 8}&-\frac{4}{-8\left(-1\right)-4\times 8}\\-\frac{8}{-8\left(-1\right)-4\times 8}&-\frac{8}{-8\left(-1\right)-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\times 8+\frac{1}{6}\times 16\\\frac{1}{3}\times 8+\frac{1}{3}\times 16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=8$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

Untuk menjadikan -8x dan 8x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 8 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -8.

$$8\left(-8\right)x+8\times 4y=8\times 8,-8\times 8x-8\left(-1\right)y=-8\times 16$$

Permudahkan.

$$-64x+32y=64,-64x+8y=-128$$

Tolak -64x+8y=-128 daripada -64x+32y=64 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-64x+64x+32y-8y=64+128$$

Tambahkan -64x pada 64x. Seubtan -64x dan 64x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$32y-8y=64+128$$

Tambahkan 32y pada -8y.

$$24y=64+128$$

Tambahkan 64 pada 128.

$$24y=192$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 24.

$$y=8$$

Gantikan 8 dengan y dalam 8x-y=16. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$8x-8=16$$

Tambahkan 8 pada kedua-dua belah persamaan.

$$8x=24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=8$$