Selesaikan {l}{-8x+4y=12}{8x-3y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 12 } \\ { 8 x - 3 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=9$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-8x+4y=12,8x-3y=-3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-8x+4y=12$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-8x=-4y+12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+12\right)$$

Darabkan -\frac{1}{8} kali -4y+12.

$$x=\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}$$

Gantikan \frac{-3+y}{2} dengan x dalam persamaan lain, 8x-3y=-3.

$$8\left(\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)-3y=-3$$

Darabkan 8 kali \frac{-3+y}{2}.

$$4y-12-3y=-3$$

Tambahkan 4y pada -3y.

$$y-12=-3$$

Tambahkan 12 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=9$$

Gantikan 9 dengan y dalam x=\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{2}\times 9-\frac{3}{2}$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 9.

$$x=\frac{9-3}{2}$$

Tambahkan -\frac{3}{2} pada \frac{9}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=9$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-8x+4y=12,8x-3y=-3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-8\left(-3\right)-4\times 8}&-\frac{4}{-8\left(-3\right)-4\times 8}\\-\frac{8}{-8\left(-3\right)-4\times 8}&-\frac{8}{-8\left(-3\right)-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&\frac{1}{2}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 12+\frac{1}{2}\left(-3\right)\\12-3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=9$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-8x+4y=12,8x-3y=-3$$

Untuk menjadikan -8x dan 8x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 8 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -8.

$$8\left(-8\right)x+8\times 4y=8\times 12,-8\times 8x-8\left(-3\right)y=-8\left(-3\right)$$

Permudahkan.

$$-64x+32y=96,-64x+24y=24$$

Tolak -64x+24y=24 daripada -64x+32y=96 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-64x+64x+32y-24y=96-24$$

Tambahkan -64x pada 64x. Seubtan -64x dan 64x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$32y-24y=96-24$$

Tambahkan 32y pada -24y.

$$8y=96-24$$

Tambahkan 96 pada -24.

$$8y=72$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$y=9$$

Gantikan 9 dengan y dalam 8x-3y=-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$8x-3\times 9=-3$$

Darabkan -3 kali 9.

$$8x-27=-3$$

Tambahkan 27 pada kedua-dua belah persamaan.

$$8x=24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=9$$