Selesaikan {l}{-7x-8y=-2}{-5x+8y=26}

$$\left. \begin{array} { l } { - 7 x - 8 y = - 2 } \\ { - 5 x + 8 y = 26 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-2$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-7x-8y=-2,-5x+8y=26$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-7x-8y=-2$$

Tambahkan 8y pada kedua-dua belah persamaan.

$$-7x=8y-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(8y-2\right)$$

Darabkan -\frac{1}{7} kali 8y-2.

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{2}{7}$$

Gantikan \frac{-8y+2}{7} dengan x dalam persamaan lain, -5x+8y=26.

$$-5\left(-\frac{8}{7}y+\frac{2}{7}\right)+8y=26$$

Darabkan -5 kali \frac{-8y+2}{7}.

$$\frac{40}{7}y-\frac{10}{7}+8y=26$$

Tambahkan \frac{40y}{7} pada 8y.

$$\frac{96}{7}y-\frac{10}{7}=26$$

Tambahkan \frac{10}{7} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{96}{7}y=\frac{192}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{96}{7} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=-\frac{8}{7}y+\frac{2}{7}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{8}{7}\times 2+\frac{2}{7}$$

Darabkan -\frac{8}{7} kali 2.

$$x=\frac{-16+2}{7}$$

Tambahkan \frac{2}{7} pada -\frac{16}{7} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-7x-8y=-2,-5x+8y=26$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{-8}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{7}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{1}{12}\\-\frac{5}{96}&\frac{7}{96}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\left(-2\right)-\frac{1}{12}\times 26\\-\frac{5}{96}\left(-2\right)+\frac{7}{96}\times 26\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-2,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-7x-8y=-2,-5x+8y=26$$

Untuk menjadikan -7x dan -5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -7.

$$-5\left(-7\right)x-5\left(-8\right)y=-5\left(-2\right),-7\left(-5\right)x-7\times 8y=-7\times 26$$

Permudahkan.

$$35x+40y=10,35x-56y=-182$$

Tolak 35x-56y=-182 daripada 35x+40y=10 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$35x-35x+40y+56y=10+182$$

Tambahkan 35x pada -35x. Seubtan 35x dan -35x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$40y+56y=10+182$$

Tambahkan 40y pada 56y.

$$96y=10+182$$

Tambahkan 10 pada 182.

$$96y=192$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 96.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam -5x+8y=26. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-5x+8\times 2=26$$

Darabkan 8 kali 2.

$$-5x+16=26$$

Tolak 16 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-5x=10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=2$$