Selesaikan {l}{-7x+2y=-24}{5x-y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { - 7 x + 2 y = - 24 } \\ { 5 x - y = 18 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-7x+2y=-24,5x-y=18$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-7x+2y=-24$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-7x=-2y-24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-2y-24\right)$$

Darabkan -\frac{1}{7} kali -2y-24.

$$x=\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}$$

Gantikan \frac{24+2y}{7} dengan x dalam persamaan lain, 5x-y=18.

$$5\left(\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}\right)-y=18$$

Darabkan 5 kali \frac{24+2y}{7}.

$$\frac{10}{7}y+\frac{120}{7}-y=18$$

Tambahkan \frac{10y}{7} pada -y.

$$\frac{3}{7}y+\frac{120}{7}=18$$

Tolak \frac{120}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{3}{7}y=\frac{6}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{3}{7} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{2}{7}\times 2+\frac{24}{7}$$

Darabkan \frac{2}{7} kali 2.

$$x=\frac{4+24}{7}$$

Tambahkan \frac{24}{7} pada \frac{4}{7} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-7x+2y=-24,5x-y=18$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\18\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\18\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\18\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\18\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-7\left(-1\right)-2\times 5}&-\frac{2}{-7\left(-1\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{-7\left(-1\right)-2\times 5}&-\frac{7}{-7\left(-1\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\18\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{5}{3}&\frac{7}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\18\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-24\right)+\frac{2}{3}\times 18\\\frac{5}{3}\left(-24\right)+\frac{7}{3}\times 18\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=4,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-7x+2y=-24,5x-y=18$$

Untuk menjadikan -7x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -7.

$$5\left(-7\right)x+5\times 2y=5\left(-24\right),-7\times 5x-7\left(-1\right)y=-7\times 18$$

Permudahkan.

$$-35x+10y=-120,-35x+7y=-126$$

Tolak -35x+7y=-126 daripada -35x+10y=-120 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-35x+35x+10y-7y=-120+126$$

Tambahkan -35x pada 35x. Seubtan -35x dan 35x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$10y-7y=-120+126$$

Tambahkan 10y pada -7y.

$$3y=-120+126$$

Tambahkan -120 pada 126.

$$3y=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 5x-y=18. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x-2=18$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=2$$