Selesaikan {l}{-6x+y=-2}{-3x-6y=12}

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x + y = - 2 } \\ { - 3 x - 6 y = 12 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=0$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-6x+y=-2,-3x-6y=12$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-6x+y=-2$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-6x=-y-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-y-2\right)$$

Darabkan -\frac{1}{6} kali -y-2.

$$x=\frac{1}{6}y+\frac{1}{3}$$

Gantikan \frac{y}{6}+\frac{1}{3} dengan x dalam persamaan lain, -3x-6y=12.

$$-3\left(\frac{1}{6}y+\frac{1}{3}\right)-6y=12$$

Darabkan -3 kali \frac{y}{6}+\frac{1}{3}.

$$-\frac{1}{2}y-1-6y=12$$

Tambahkan -\frac{y}{2} pada -6y.

$$-\frac{13}{2}y-1=12$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{13}{2}y=13$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{13}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam x=\frac{1}{6}y+\frac{1}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2\right)+\frac{1}{3}$$

Darabkan \frac{1}{6} kali -2.

$$x=\frac{-1+1}{3}$$

Tambahkan \frac{1}{3} pada -\frac{1}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-6x+y=-2,-3x-6y=12$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-6&1\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-6&1\\-3&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&1\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\12\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\12\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-6\left(-6\right)-\left(-3\right)}&-\frac{1}{-6\left(-6\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-6\left(-6\right)-\left(-3\right)}&-\frac{6}{-6\left(-6\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}&-\frac{1}{39}\\\frac{1}{13}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\left(-2\right)-\frac{1}{39}\times 12\\\frac{1}{13}\left(-2\right)-\frac{2}{13}\times 12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=0,y=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-6x+y=-2,-3x-6y=12$$

Untuk menjadikan -6x dan -3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -6.

$$-3\left(-6\right)x-3y=-3\left(-2\right),-6\left(-3\right)x-6\left(-6\right)y=-6\times 12$$

Permudahkan.

$$18x-3y=6,18x+36y=-72$$

Tolak 18x+36y=-72 daripada 18x-3y=6 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$18x-18x-3y-36y=6+72$$

Tambahkan 18x pada -18x. Seubtan 18x dan -18x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-3y-36y=6+72$$

Tambahkan -3y pada -36y.

$$-39y=6+72$$

Tambahkan 6 pada 72.

$$-39y=78$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -39.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam -3x-6y=12. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-3x-6\left(-2\right)=12$$

Darabkan -6 kali -2.

$$-3x+12=12$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=-2$$