Selesaikan {l}{-6x+5y=1}{6x+4y=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { - 6 x + 5 y = 1 } \\ { 6 x + 4 y = - 10 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-1$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-6x+5y=1,6x+4y=-10$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-6x+5y=1$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-6x=-5y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-5y+1\right)$$

Darabkan -\frac{1}{6} kali -5y+1.

$$x=\frac{5}{6}y-\frac{1}{6}$$

Gantikan \frac{5y-1}{6} dengan x dalam persamaan lain, 6x+4y=-10.

$$6\left(\frac{5}{6}y-\frac{1}{6}\right)+4y=-10$$

Darabkan 6 kali \frac{5y-1}{6}.

$$5y-1+4y=-10$$

Tambahkan 5y pada 4y.

$$9y-1=-10$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$9y=-9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 9.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=\frac{5}{6}y-\frac{1}{6}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{5}{6}\left(-1\right)-\frac{1}{6}$$

Darabkan \frac{5}{6} kali -1.

$$x=\frac{-5-1}{6}$$

Tambahkan -\frac{1}{6} pada -\frac{5}{6} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-6x+5y=1,6x+4y=-10$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&5\\6&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-6\times 4-5\times 6}&-\frac{5}{-6\times 4-5\times 6}\\-\frac{6}{-6\times 4-5\times 6}&-\frac{6}{-6\times 4-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{27}&\frac{5}{54}\\\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{27}+\frac{5}{54}\left(-10\right)\\\frac{1}{9}+\frac{1}{9}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-1,y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-6x+5y=1,6x+4y=-10$$

Untuk menjadikan -6x dan 6x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -6.

$$6\left(-6\right)x+6\times 5y=6,-6\times 6x-6\times 4y=-6\left(-10\right)$$

Permudahkan.

$$-36x+30y=6,-36x-24y=60$$

Tolak -36x-24y=60 daripada -36x+30y=6 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-36x+36x+30y+24y=6-60$$

Tambahkan -36x pada 36x. Seubtan -36x dan 36x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$30y+24y=6-60$$

Tambahkan 30y pada 24y.

$$54y=6-60$$

Tambahkan 6 pada -60.

$$54y=-54$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 54.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam 6x+4y=-10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$6x+4\left(-1\right)=-10$$

Darabkan 4 kali -1.

$$6x-4=-10$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=-1$$