Selesaikan {l}{-5x-3y-9=0}{4x-18y-54=0}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x - 3 y - 9 = 0 } \\ { 4 x - 18 y - 54 = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=0$$

$$y=-3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-5x-3y-9=0,4x-18y-54=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-5x-3y-9=0$$

Tambahkan 9 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-5x-3y=9$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$-5x=3y+9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(3y+9\right)$$

Darabkan -\frac{1}{5} kali 9+3y.

$$x=-\frac{3}{5}y-\frac{9}{5}$$

Gantikan \frac{-3y-9}{5} dengan x dalam persamaan lain, 4x-18y-54=0.

$$4\left(-\frac{3}{5}y-\frac{9}{5}\right)-18y-54=0$$

Darabkan 4 kali \frac{-3y-9}{5}.

$$-\frac{12}{5}y-\frac{36}{5}-18y-54=0$$

Tambahkan -\frac{12y}{5} pada -18y.

$$-\frac{102}{5}y-\frac{36}{5}-54=0$$

Tambahkan -\frac{36}{5} pada -54.

$$-\frac{102}{5}y-\frac{306}{5}=0$$

Tambahkan \frac{306}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{102}{5}y=\frac{306}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{102}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam x=-\frac{3}{5}y-\frac{9}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{5}\left(-3\right)-\frac{9}{5}$$

Darabkan -\frac{3}{5} kali -3.

$$x=\frac{9-9}{5}$$

Tambahkan -\frac{9}{5} pada \frac{9}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=-3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-5x-3y-9=0,4x-18y-54=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-3\\4&-18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{5}{-5\left(-18\right)-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}&\frac{1}{34}\\-\frac{2}{51}&-\frac{5}{102}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\54\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{17}\times 9+\frac{1}{34}\times 54\\-\frac{2}{51}\times 9-\frac{5}{102}\times 54\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=0,y=-3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-5x-3y-9=0,4x-18y-54=0$$

Untuk menjadikan -5x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -5.

$$4\left(-5\right)x+4\left(-3\right)y+4\left(-9\right)=0,-5\times 4x-5\left(-18\right)y-5\left(-54\right)=0$$

Permudahkan.

$$-20x-12y-36=0,-20x+90y+270=0$$

Tolak -20x+90y+270=0 daripada -20x-12y-36=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-20x+20x-12y-90y-36-270=0$$

Tambahkan -20x pada 20x. Seubtan -20x dan 20x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-12y-90y-36-270=0$$

Tambahkan -12y pada -90y.

$$-102y-36-270=0$$

Tambahkan -36 pada -270.

$$-102y-306=0$$

Tambahkan 306 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-102y=306$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -102.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam 4x-18y-54=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x-18\left(-3\right)-54=0$$

Darabkan -18 kali -3.

$$4x+54-54=0$$

Tambahkan 54 pada -54.

$$4x=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=-3$$