Selesaikan {l}{-5x+8y=0}{-7x-8y=-96}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 8 y = 0 } \\ { - 7 x - 8 y = - 96 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=8$$

$$y=5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-5x+8y=0,-7x-8y=-96$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-5x+8y=0$$

Tolak 8y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-5x=-8y$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-8\right)y$$

Darabkan -\frac{1}{5} kali -8y.

$$x=\frac{8}{5}y$$

Gantikan \frac{8y}{5} dengan x dalam persamaan lain, -7x-8y=-96.

$$-7\times \frac{8}{5}y-8y=-96$$

Darabkan -7 kali \frac{8y}{5}.

$$-\frac{56}{5}y-8y=-96$$

Tambahkan -\frac{56y}{5} pada -8y.

$$-\frac{96}{5}y=-96$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{96}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=5$$

Gantikan 5 dengan y dalam x=\frac{8}{5}y. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{8}{5}\times 5$$

Darabkan \frac{8}{5} kali 5.

$$x=8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=8,y=5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-5x+8y=0,-7x-8y=-96$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\-7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-5\left(-8\right)-8\left(-7\right)}&-\frac{8}{-5\left(-8\right)-8\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-5\left(-8\right)-8\left(-7\right)}&-\frac{5}{-5\left(-8\right)-8\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{1}{12}\\\frac{7}{96}&-\frac{5}{96}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-96\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\left(-96\right)\\-\frac{5}{96}\left(-96\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=8,y=5$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-5x+8y=0,-7x-8y=-96$$

Untuk menjadikan -5x dan -7x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -5.

$$-7\left(-5\right)x-7\times 8y=0,-5\left(-7\right)x-5\left(-8\right)y=-5\left(-96\right)$$

Permudahkan.

$$35x-56y=0,35x+40y=480$$

Tolak 35x+40y=480 daripada 35x-56y=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$35x-35x-56y-40y=-480$$

Tambahkan 35x pada -35x. Seubtan 35x dan -35x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-56y-40y=-480$$

Tambahkan -56y pada -40y.

$$-96y=-480$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -96.

$$y=5$$

Gantikan 5 dengan y dalam -7x-8y=-96. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-7x-8\times 5=-96$$

Darabkan -8 kali 5.

$$-7x-40=-96$$

Tambahkan 40 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-7x=-56$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$x=8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=8,y=5$$