Selesaikan {l}{-5x+5y=-5}{-4x+2y=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 5 y = - 5 } \\ { - 4 x + 2 y = - 14 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=6$$

$$y=5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-5x+5y=-5,-4x+2y=-14$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-5x+5y=-5$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-5x=-5y-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-5y-5\right)$$

Darabkan -\frac{1}{5} kali -5y-5.

$$x=y+1$$

Gantikan y+1 dengan x dalam persamaan lain, -4x+2y=-14.

$$-4\left(y+1\right)+2y=-14$$

Darabkan -4 kali y+1.

$$-4y-4+2y=-14$$

Tambahkan -4y pada 2y.

$$-2y-4=-14$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-2y=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=5$$

Gantikan 5 dengan y dalam x=y+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=5+1$$

Tambahkan 1 pada 5.

$$x=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=6,y=5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-5x+5y=-5,-4x+2y=-14$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-5\left(-4\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-5\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{-5\times 2-5\left(-4\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-5\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{1}{2}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-5\right)-\frac{1}{2}\left(-14\right)\\\frac{2}{5}\left(-5\right)-\frac{1}{2}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=6,y=5$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-5x+5y=-5,-4x+2y=-14$$

Untuk menjadikan -5x dan -4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -5.

$$-4\left(-5\right)x-4\times 5y=-4\left(-5\right),-5\left(-4\right)x-5\times 2y=-5\left(-14\right)$$

Permudahkan.

$$20x-20y=20,20x-10y=70$$

Tolak 20x-10y=70 daripada 20x-20y=20 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$20x-20x-20y+10y=20-70$$

Tambahkan 20x pada -20x. Seubtan 20x dan -20x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-20y+10y=20-70$$

Tambahkan -20y pada 10y.

$$-10y=20-70$$

Tambahkan 20 pada -70.

$$-10y=-50$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -10.

$$y=5$$

Gantikan 5 dengan y dalam -4x+2y=-14. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-4x+2\times 5=-14$$

Darabkan 2 kali 5.

$$-4x+10=-14$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-4x=-24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$x=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=6,y=5$$