Selesaikan {l}{-5x+5y=-10}{-2x+5y=-16}hline

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 5 y = - 10 } \\ { - 2 x + 5 y = - 16 } \\ \hline \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-2$$

$$y=-4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-5x+5y=-10,-2x+5y=-16$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-5x+5y=-10$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-5x=-5y-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-5y-10\right)$$

Darabkan -\frac{1}{5} kali -5y-10.

$$x=y+2$$

Gantikan y+2 dengan x dalam persamaan lain, -2x+5y=-16.

$$-2\left(y+2\right)+5y=-16$$

Darabkan -2 kali y+2.

$$-2y-4+5y=-16$$

Tambahkan -2y pada 5y.

$$3y-4=-16$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3y=-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=-4$$

Gantikan -4 dengan y dalam x=y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-4+2$$

Tambahkan 2 pada -4.

$$x=-2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=-4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-5x+5y=-10,-2x+5y=-16$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&5\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-5\times 5-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-5\times 5-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-5\times 5-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-5\times 5-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-10\right)+\frac{1}{3}\left(-16\right)\\-\frac{2}{15}\left(-10\right)+\frac{1}{3}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-2,y=-4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-5x+5y=-10,-2x+5y=-16$$

Tolak -2x+5y=-16 daripada -5x+5y=-10 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-5x+2x+5y-5y=-10+16$$

Tambahkan 5y pada -5y. Seubtan 5y dan -5y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-5x+2x=-10+16$$

Tambahkan -5x pada 2x.

$$-3x=-10+16$$

Tambahkan -10 pada 16.

$$-3x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=-2$$

Gantikan -2 dengan x dalam -2x+5y=-16. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$-2\left(-2\right)+5y=-16$$

Darabkan -2 kali -2.

$$4+5y=-16$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5y=-20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-2,y=-4$$