Selesaikan {l}{-5x+3y=3}{4x+3y=30}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 3 y = 3 } \\ { 4 x + 3 y = 30 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-5x+3y=3,4x+3y=30$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-5x+3y=3$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-5x=-3y+3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-3y+3\right)$$

Darabkan -\frac{1}{5} kali -3y+3.

$$x=\frac{3}{5}y-\frac{3}{5}$$

Gantikan \frac{-3+3y}{5} dengan x dalam persamaan lain, 4x+3y=30.

$$4\left(\frac{3}{5}y-\frac{3}{5}\right)+3y=30$$

Darabkan 4 kali \frac{-3+3y}{5}.

$$\frac{12}{5}y-\frac{12}{5}+3y=30$$

Tambahkan \frac{12y}{5} pada 3y.

$$\frac{27}{5}y-\frac{12}{5}=30$$

Tambahkan \frac{12}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{27}{5}y=\frac{162}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{27}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=6$$

Gantikan 6 dengan y dalam x=\frac{3}{5}y-\frac{3}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{5}\times 6-\frac{3}{5}$$

Darabkan \frac{3}{5} kali 6.

$$x=\frac{18-3}{5}$$

Tambahkan -\frac{3}{5} pada \frac{18}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=6$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-5x+3y=3,4x+3y=30$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&3\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-5\times 3-3\times 4}&-\frac{3}{-5\times 3-3\times 4}\\-\frac{4}{-5\times 3-3\times 4}&-\frac{5}{-5\times 3-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{4}{27}&\frac{5}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\30\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 3+\frac{1}{9}\times 30\\\frac{4}{27}\times 3+\frac{5}{27}\times 30\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=6$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-5x+3y=3,4x+3y=30$$

Tolak 4x+3y=30 daripada -5x+3y=3 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-5x-4x+3y-3y=3-30$$

Tambahkan 3y pada -3y. Seubtan 3y dan -3y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-5x-4x=3-30$$

Tambahkan -5x pada -4x.

$$-9x=3-30$$

Tambahkan 3 pada -30.

$$-9x=-27$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -9.

$$x=3$$

Gantikan 3 dengan x dalam 4x+3y=30. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$4\times 3+3y=30$$

Darabkan 4 kali 3.

$$12+3y=30$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3y=18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=6$$