Selesaikan {l}{-5x+10y=15}{-5x+2y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 x + 10 y = 15 } \\ { - 5 x + 2 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-5x+10y=15,-5x+2y=-1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-5x+10y=15$$

Tolak 10y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-5x=-10y+15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-10y+15\right)$$

Darabkan -\frac{1}{5} kali -10y+15.

$$x=2y-3$$

Gantikan 2y-3 dengan x dalam persamaan lain, -5x+2y=-1.

$$-5\left(2y-3\right)+2y=-1$$

Darabkan -5 kali 2y-3.

$$-10y+15+2y=-1$$

Tambahkan -10y pada 2y.

$$-8y+15=-1$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-8y=-16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -8.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=2y-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=2\times 2-3$$

Darabkan 2 kali 2.

$$x=4-3$$

Tambahkan -3 pada 4.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-5x+10y=15,-5x+2y=-1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&10\\-5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-10\left(-5\right)}&-\frac{10}{-5\times 2-10\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-5\times 2-10\left(-5\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-10\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\times 15-\frac{1}{4}\left(-1\right)\\\frac{1}{8}\times 15-\frac{1}{8}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-5x+10y=15,-5x+2y=-1$$

Tolak -5x+2y=-1 daripada -5x+10y=15 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-5x+5x+10y-2y=15+1$$

Tambahkan -5x pada 5x. Seubtan -5x dan 5x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$10y-2y=15+1$$

Tambahkan 10y pada -2y.

$$8y=15+1$$

Tambahkan 15 pada 1.

$$8y=16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam -5x+2y=-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-5x+2\times 2=-1$$

Darabkan 2 kali 2.

$$-5x+4=-1$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-5x=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=2$$