Selesaikan {l}{-5*(x-y)+3y=2x}{2y-(6x+7)=-2}

$$\left. \begin{array} { l } { - 5 \cdot ( x - y ) + 3 y = 2 x } \\ { 2 y - ( 6 x + 7 ) = - 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{20}{17} = -1\frac{3}{17} \approx -1.176470588$$

$$y = -\frac{35}{34} = -1\frac{1}{34} \approx -1.029411765$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -5 dengan x-y.

$$-5x+5y+3y=2x$$

Gabungkan 5y dan 3y untuk mendapatkan 8y.

$$-5x+8y=2x$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$-5x+8y-2x=0$$

Gabungkan -5x dan -2x untuk mendapatkan -7x.

$$-7x+8y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Untuk mencari yang bertentangan dengan 6x+7, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$2y-6x-7=-2$$

Tambahkan 7 pada kedua-dua belah.

$$2y-6x=-2+7$$

Tambahkan -2 dan 7 untuk dapatkan 5.

$$2y-6x=5$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-7x+8y=0$$

Tolak 8y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-7x=-8y$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-8\right)y$$

Darabkan -\frac{1}{7} kali -8y.

$$x=\frac{8}{7}y$$

Gantikan \frac{8y}{7} dengan x dalam persamaan lain, -6x+2y=5.

$$-6\times \frac{8}{7}y+2y=5$$

Darabkan -6 kali \frac{8y}{7}.

$$-\frac{48}{7}y+2y=5$$

Tambahkan -\frac{48y}{7} pada 2y.

$$-\frac{34}{7}y=5$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{34}{7} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{35}{34}$$

Gantikan -\frac{35}{34} dengan y dalam x=\frac{8}{7}y. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{8}{7}\left(-\frac{35}{34}\right)$$

Darabkan \frac{8}{7} dengan -\frac{35}{34} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{20}{17}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -5 dengan x-y.

$$-5x+5y+3y=2x$$

Gabungkan 5y dan 3y untuk mendapatkan 8y.

$$-5x+8y=2x$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$-5x+8y-2x=0$$

Gabungkan -5x dan -2x untuk mendapatkan -7x.

$$-7x+8y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Untuk mencari yang bertentangan dengan 6x+7, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$2y-6x-7=-2$$

Tambahkan 7 pada kedua-dua belah.

$$2y-6x=-2+7$$

Tambahkan -2 dan 7 untuk dapatkan 5.

$$2y-6x=5$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-7\times 2-8\left(-6\right)}&-\frac{8}{-7\times 2-8\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{-7\times 2-8\left(-6\right)}&-\frac{7}{-7\times 2-8\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&-\frac{4}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{7}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{17}\times 5\\-\frac{7}{34}\times 5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{17}\\-\frac{35}{34}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -5 dengan x-y.

$$-5x+5y+3y=2x$$

Gabungkan 5y dan 3y untuk mendapatkan 8y.

$$-5x+8y=2x$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$-5x+8y-2x=0$$

Gabungkan -5x dan -2x untuk mendapatkan -7x.

$$-7x+8y=0$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Untuk mencari yang bertentangan dengan 6x+7, cari yang bertentangan dengan setiap sebutan.

$$2y-6x-7=-2$$

Tambahkan 7 pada kedua-dua belah.

$$2y-6x=-2+7$$

Tambahkan -2 dan 7 untuk dapatkan 5.

$$2y-6x=5$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-7x+8y=0,-6x+2y=5$$

Untuk menjadikan -7x dan -6x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -7.

$$-6\left(-7\right)x-6\times 8y=0,-7\left(-6\right)x-7\times 2y=-7\times 5$$

Permudahkan.

$$42x-48y=0,42x-14y=-35$$

Tolak 42x-14y=-35 daripada 42x-48y=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$42x-42x-48y+14y=35$$

Tambahkan 42x pada -42x. Seubtan 42x dan -42x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-48y+14y=35$$

Tambahkan -48y pada 14y.

$$-34y=35$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -34.

$$y=-\frac{35}{34}$$

Gantikan -\frac{35}{34} dengan y dalam -6x+2y=5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-6x+2\left(-\frac{35}{34}\right)=5$$

Darabkan 2 kali -\frac{35}{34}.

$$-6x-\frac{35}{17}=5$$

Tambahkan \frac{35}{17} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-6x=\frac{120}{17}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$x=-\frac{20}{17}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{20}{17},y=-\frac{35}{34}$$