Selesaikan {l}{-4x-10y=20}{8x+10y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x - 10 y = 20 } \\ { 8 x + 10 y = 20 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=10$$

$$y=-6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-4x-10y=20$$

Tambahkan 10y pada kedua-dua belah persamaan.

$$-4x=10y+20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(10y+20\right)$$

Darabkan -\frac{1}{4} kali 20+10y.

$$x=-\frac{5}{2}y-5$$

Gantikan -\frac{5y}{2}-5 dengan x dalam persamaan lain, 8x+10y=20.

$$8\left(-\frac{5}{2}y-5\right)+10y=20$$

Darabkan 8 kali -\frac{5y}{2}-5.

$$-20y-40+10y=20$$

Tambahkan -20y pada 10y.

$$-10y-40=20$$

Tambahkan 40 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-10y=60$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -10.

$$y=-6$$

Gantikan -6 dengan y dalam x=-\frac{5}{2}y-5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{2}\left(-6\right)-5$$

Darabkan -\frac{5}{2} kali -6.

$$x=15-5$$

Tambahkan -5 pada 15.

$$x=10$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=10,y=-6$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-10\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}&-\frac{-10}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}\\-\frac{8}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}&-\frac{4}{-4\times 10-\left(-10\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 20+\frac{1}{4}\times 20\\-\frac{1}{5}\times 20-\frac{1}{10}\times 20\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-6\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=10,y=-6$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-4x-10y=20,8x+10y=20$$

Untuk menjadikan -4x dan 8x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 8 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -4.

$$8\left(-4\right)x+8\left(-10\right)y=8\times 20,-4\times 8x-4\times 10y=-4\times 20$$

Permudahkan.

$$-32x-80y=160,-32x-40y=-80$$

Tolak -32x-40y=-80 daripada -32x-80y=160 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-32x+32x-80y+40y=160+80$$

Tambahkan -32x pada 32x. Seubtan -32x dan 32x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-80y+40y=160+80$$

Tambahkan -80y pada 40y.

$$-40y=160+80$$

Tambahkan 160 pada 80.

$$-40y=240$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -40.

$$y=-6$$

Gantikan -6 dengan y dalam 8x+10y=20. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$8x+10\left(-6\right)=20$$

Darabkan 10 kali -6.

$$8x-60=20$$

Tambahkan 60 pada kedua-dua belah persamaan.

$$8x=80$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$x=10$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=10,y=-6$$