Selesaikan {l}{-4x+9y=9}{x-3y=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + 9 y = 9 } \\ { x - 3 y = - 6 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=9$$

$$y=5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-4x+9y=9,x-3y=-6$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-4x+9y=9$$

Tolak 9y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-4x=-9y+9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-9y+9\right)$$

Darabkan -\frac{1}{4} kali -9y+9.

$$x=\frac{9}{4}y-\frac{9}{4}$$

Gantikan \frac{-9+9y}{4} dengan x dalam persamaan lain, x-3y=-6.

$$\frac{9}{4}y-\frac{9}{4}-3y=-6$$

Tambahkan \frac{9y}{4} pada -3y.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{9}{4}=-6$$

Tambahkan \frac{9}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{3}{4}y=-\frac{15}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{3}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=5$$

Gantikan 5 dengan y dalam x=\frac{9}{4}y-\frac{9}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{9}{4}\times 5-\frac{9}{4}$$

Darabkan \frac{9}{4} kali 5.

$$x=\frac{45-9}{4}$$

Tambahkan -\frac{9}{4} pada \frac{45}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=9$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=9,y=5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-4x+9y=9,x-3y=-6$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&9\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-4\left(-3\right)-9}&-\frac{9}{-4\left(-3\right)-9}\\-\frac{1}{-4\left(-3\right)-9}&-\frac{4}{-4\left(-3\right)-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\-\frac{1}{3}&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-6\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9-3\left(-6\right)\\-\frac{1}{3}\times 9-\frac{4}{3}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=9,y=5$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-4x+9y=9,x-3y=-6$$

Untuk menjadikan -4x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -4.

$$-4x+9y=9,-4x-4\left(-3\right)y=-4\left(-6\right)$$

Permudahkan.

$$-4x+9y=9,-4x+12y=24$$

Tolak -4x+12y=24 daripada -4x+9y=9 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-4x+4x+9y-12y=9-24$$

Tambahkan -4x pada 4x. Seubtan -4x dan 4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$9y-12y=9-24$$

Tambahkan 9y pada -12y.

$$-3y=9-24$$

Tambahkan 9 pada -24.

$$-3y=-15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=5$$

Gantikan 5 dengan y dalam x-3y=-6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-3\times 5=-6$$

Darabkan -3 kali 5.

$$x-15=-6$$

Tambahkan 15 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=9$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=9,y=5$$