Selesaikan {l}{-4x+5y=24}{y=2x}

$$\left. \begin{array} { l } { - 4 x + 5 y = 24 } \\ { y = 2 x } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=4$$

$$y=8$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-4x+5y=24,-2x+y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-4x+5y=24$$

Tolak 5y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-4x=-5y+24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-5y+24\right)$$

Darabkan -\frac{1}{4} kali -5y+24.

$$x=\frac{5}{4}y-6$$

Gantikan \frac{5y}{4}-6 dengan x dalam persamaan lain, -2x+y=0.

$$-2\left(\frac{5}{4}y-6\right)+y=0$$

Darabkan -2 kali \frac{5y}{4}-6.

$$-\frac{5}{2}y+12+y=0$$

Tambahkan -\frac{5y}{2} pada y.

$$-\frac{3}{2}y+12=0$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{3}{2}y=-12$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{3}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=8$$

Gantikan 8 dengan y dalam x=\frac{5}{4}y-6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{5}{4}\times 8-6$$

Darabkan \frac{5}{4} kali 8.

$$x=10-6$$

Tambahkan -6 pada 10.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=8$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-4x+5y=24,-2x+y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-4-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-4-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-4-5\left(-2\right)}&-\frac{4}{-4-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 24\\\frac{1}{3}\times 24\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=4,y=8$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-4x+5y=24,-2x+y=0$$

Untuk menjadikan -4x dan -2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -4.

$$-2\left(-4\right)x-2\times 5y=-2\times 24,-4\left(-2\right)x-4y=0$$

Permudahkan.

$$8x-10y=-48,8x-4y=0$$

Tolak 8x-4y=0 daripada 8x-10y=-48 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$8x-8x-10y+4y=-48$$

Tambahkan 8x pada -8x. Seubtan 8x dan -8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-10y+4y=-48$$

Tambahkan -10y pada 4y.

$$-6y=-48$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -6.

$$y=8$$

Gantikan 8 dengan y dalam -2x+y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-2x+8=0$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=-8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=8$$