Selesaikan {l}{-3x-y=2x-1}{-3(2x+5y)=x+y-30}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x - y = 2 x - 1 } \\ { - 3 ( 2 x + 5 y ) = x + y - 30 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{14}{73}\approx -0.191780822$$

$$y = \frac{143}{73} = 1\frac{70}{73} \approx 1.95890411$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$-3x-y-2x=-1$$

Gabungkan -3x dan -2x untuk mendapatkan -5x.

$$-5x-y=-1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -3 dengan 2x+5y.

$$-6x-15y=x+y-30$$

Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$-6x-15y-x=y-30$$

Gabungkan -6x dan -x untuk mendapatkan -7x.

$$-7x-15y=y-30$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$-7x-15y-y=-30$$

Gabungkan -15y dan -y untuk mendapatkan -16y.

$$-7x-16y=-30$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-5x-y=-1$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$-5x=y-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(y-1\right)$$

Darabkan -\frac{1}{5} kali y-1.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}$$

Gantikan \frac{-y+1}{5} dengan x dalam persamaan lain, -7x-16y=-30.

$$-7\left(-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}\right)-16y=-30$$

Darabkan -7 kali \frac{-y+1}{5}.

$$\frac{7}{5}y-\frac{7}{5}-16y=-30$$

Tambahkan \frac{7y}{5} pada -16y.

$$-\frac{73}{5}y-\frac{7}{5}=-30$$

Tambahkan \frac{7}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{73}{5}y=-\frac{143}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{73}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{143}{73}$$

Gantikan \frac{143}{73} dengan y dalam x=-\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{143}{73}+\frac{1}{5}$$

Darabkan -\frac{1}{5} dengan \frac{143}{73} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{143}{365}+\frac{1}{5}$$

Tambahkan \frac{1}{5} pada -\frac{143}{365} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{14}{73}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$-3x-y-2x=-1$$

Gabungkan -3x dan -2x untuk mendapatkan -5x.

$$-5x-y=-1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -3 dengan 2x+5y.

$$-6x-15y=x+y-30$$

Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$-6x-15y-x=y-30$$

Gabungkan -6x dan -x untuk mendapatkan -7x.

$$-7x-15y=y-30$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$-7x-15y-y=-30$$

Gabungkan -15y dan -y untuk mendapatkan -16y.

$$-7x-16y=-30$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-1\\-7&-16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}&-\frac{-1}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}&-\frac{5}{-5\left(-16\right)-\left(-\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{73}&\frac{1}{73}\\\frac{7}{73}&-\frac{5}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-30\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{73}\left(-1\right)+\frac{1}{73}\left(-30\right)\\\frac{7}{73}\left(-1\right)-\frac{5}{73}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{73}\\\frac{143}{73}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$-3x-y-2x=-1$$

Gabungkan -3x dan -2x untuk mendapatkan -5x.

$$-5x-y=-1$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -3 dengan 2x+5y.

$$-6x-15y=x+y-30$$

Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$-6x-15y-x=y-30$$

Gabungkan -6x dan -x untuk mendapatkan -7x.

$$-7x-15y=y-30$$

Tolak y daripada kedua-dua belah.

$$-7x-15y-y=-30$$

Gabungkan -15y dan -y untuk mendapatkan -16y.

$$-7x-16y=-30$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-5x-y=-1,-7x-16y=-30$$

Untuk menjadikan -5x dan -7x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -7 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -5.

$$-7\left(-5\right)x-7\left(-1\right)y=-7\left(-1\right),-5\left(-7\right)x-5\left(-16\right)y=-5\left(-30\right)$$

Permudahkan.

$$35x+7y=7,35x+80y=150$$

Tolak 35x+80y=150 daripada 35x+7y=7 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$35x-35x+7y-80y=7-150$$

Tambahkan 35x pada -35x. Seubtan 35x dan -35x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$7y-80y=7-150$$

Tambahkan 7y pada -80y.

$$-73y=7-150$$

Tambahkan 7 pada -150.

$$-73y=-143$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -73.

$$y=\frac{143}{73}$$

Gantikan \frac{143}{73} dengan y dalam -7x-16y=-30. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-7x-16\times \frac{143}{73}=-30$$

Darabkan -16 kali \frac{143}{73}.

$$-7x-\frac{2288}{73}=-30$$

Tambahkan \frac{2288}{73} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-7x=\frac{98}{73}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$x=-\frac{14}{73}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{14}{73},y=\frac{143}{73}$$