Selesaikan {l}{-3x-9y=6}{3x-y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x - 9 y = 6 } \\ { 3 x - y = 14 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=4$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-3x-9y=6,3x-y=14$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-3x-9y=6$$

Tambahkan 9y pada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=9y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(9y+6\right)$$

Darabkan -\frac{1}{3} kali 9y+6.

$$x=-3y-2$$

Gantikan -3y-2 dengan x dalam persamaan lain, 3x-y=14.

$$3\left(-3y-2\right)-y=14$$

Darabkan 3 kali -3y-2.

$$-9y-6-y=14$$

Tambahkan -9y pada -y.

$$-10y-6=14$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-10y=20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -10.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam x=-3y-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-3\left(-2\right)-2$$

Darabkan -3 kali -2.

$$x=6-2$$

Tambahkan -2 pada 6.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-3x-9y=6,3x-y=14$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-3&-9\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-3&-9\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&-9\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&-9\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-9\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-9\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-9\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-3\left(-1\right)-\left(-9\times 3\right)}&-\frac{-9}{-3\left(-1\right)-\left(-9\times 3\right)}\\-\frac{3}{-3\left(-1\right)-\left(-9\times 3\right)}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-\left(-9\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{30}&\frac{3}{10}\\-\frac{1}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{30}\times 6+\frac{3}{10}\times 14\\-\frac{1}{10}\times 6-\frac{1}{10}\times 14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=4,y=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-3x-9y=6,3x-y=14$$

Untuk menjadikan -3x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -3.

$$3\left(-3\right)x+3\left(-9\right)y=3\times 6,-3\times 3x-3\left(-1\right)y=-3\times 14$$

Permudahkan.

$$-9x-27y=18,-9x+3y=-42$$

Tolak -9x+3y=-42 daripada -9x-27y=18 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-9x+9x-27y-3y=18+42$$

Tambahkan -9x pada 9x. Seubtan -9x dan 9x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-27y-3y=18+42$$

Tambahkan -27y pada -3y.

$$-30y=18+42$$

Tambahkan 18 pada 42.

$$-30y=60$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -30.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam 3x-y=14. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-\left(-2\right)=14$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=-2$$