Selesaikan {l}{-3x-5y=17}{-5x+6y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x - 5 y = 17 } \\ { - 5 x + 6 y = 14 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-4$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-3x-5y=17,-5x+6y=14$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-3x-5y=17$$

Tambahkan 5y pada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=5y+17$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(5y+17\right)$$

Darabkan -\frac{1}{3} kali 5y+17.

$$x=-\frac{5}{3}y-\frac{17}{3}$$

Gantikan \frac{-5y-17}{3} dengan x dalam persamaan lain, -5x+6y=14.

$$-5\left(-\frac{5}{3}y-\frac{17}{3}\right)+6y=14$$

Darabkan -5 kali \frac{-5y-17}{3}.

$$\frac{25}{3}y+\frac{85}{3}+6y=14$$

Tambahkan \frac{25y}{3} pada 6y.

$$\frac{43}{3}y+\frac{85}{3}=14$$

Tolak \frac{85}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{43}{3}y=-\frac{43}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{43}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=-\frac{5}{3}y-\frac{17}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-1\right)-\frac{17}{3}$$

Darabkan -\frac{5}{3} kali -1.

$$x=\frac{5-17}{3}$$

Tambahkan -\frac{17}{3} pada \frac{5}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-4,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-3x-5y=17,-5x+6y=14$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{-3\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}&-\frac{-5}{-3\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-3\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}&-\frac{3}{-3\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{43}&-\frac{5}{43}\\-\frac{5}{43}&\frac{3}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{43}\times 17-\frac{5}{43}\times 14\\-\frac{5}{43}\times 17+\frac{3}{43}\times 14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-4,y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-3x-5y=17,-5x+6y=14$$

Untuk menjadikan -3x dan -5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -3.

$$-5\left(-3\right)x-5\left(-5\right)y=-5\times 17,-3\left(-5\right)x-3\times 6y=-3\times 14$$

Permudahkan.

$$15x+25y=-85,15x-18y=-42$$

Tolak 15x-18y=-42 daripada 15x+25y=-85 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$15x-15x+25y+18y=-85+42$$

Tambahkan 15x pada -15x. Seubtan 15x dan -15x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$25y+18y=-85+42$$

Tambahkan 25y pada 18y.

$$43y=-85+42$$

Tambahkan -85 pada 42.

$$43y=-43$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 43.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam -5x+6y=14. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-5x+6\left(-1\right)=14$$

Darabkan 6 kali -1.

$$-5x-6=14$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-5x=20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$x=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-4,y=-1$$