Selesaikan {l}{-3x-2y=6}{3x+3y=-9}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x - 2 y = 6 } \\ { 3 x + 3 y = - 9 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=0$$

$$y=-3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-3x-2y=6,3x+3y=-9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-3x-2y=6$$

Tambahkan 2y pada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=2y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(2y+6\right)$$

Darabkan -\frac{1}{3} kali 6+2y.

$$x=-\frac{2}{3}y-2$$

Gantikan -\frac{2y}{3}-2 dengan x dalam persamaan lain, 3x+3y=-9.

$$3\left(-\frac{2}{3}y-2\right)+3y=-9$$

Darabkan 3 kali -\frac{2y}{3}-2.

$$-2y-6+3y=-9$$

Tambahkan -2y pada 3y.

$$y-6=-9$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam x=-\frac{2}{3}y-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-3\right)-2$$

Darabkan -\frac{2}{3} kali -3.

$$x=2-2$$

Tambahkan -2 pada 2.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=-3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-3x-2y=6,3x+3y=-9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3\times 3-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{-3\times 3-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{-3\times 3-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{3}{-3\times 3-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-\frac{2}{3}\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6-\frac{2}{3}\left(-9\right)\\6-9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=0,y=-3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-3x-2y=6,3x+3y=-9$$

Untuk menjadikan -3x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -3.

$$3\left(-3\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 6,-3\times 3x-3\times 3y=-3\left(-9\right)$$

Permudahkan.

$$-9x-6y=18,-9x-9y=27$$

Tolak -9x-9y=27 daripada -9x-6y=18 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-9x+9x-6y+9y=18-27$$

Tambahkan -9x pada 9x. Seubtan -9x dan 9x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-6y+9y=18-27$$

Tambahkan -6y pada 9y.

$$3y=18-27$$

Tambahkan 18 pada -27.

$$3y=-9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=-3$$

Gantikan -3 dengan y dalam 3x+3y=-9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+3\left(-3\right)=-9$$

Darabkan 3 kali -3.

$$3x-9=-9$$

Tambahkan 9 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=-3$$