Selesaikan {l}{-3x+y=1}{-3x+2y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + y = 1 } \\ { - 3 x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-3x+y=1,-3x+2y=5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-3x+y=1$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=-y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-y+1\right)$$

Darabkan -\frac{1}{3} kali -y+1.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}$$

Gantikan \frac{-1+y}{3} dengan x dalam persamaan lain, -3x+2y=5.

$$-3\left(\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}\right)+2y=5$$

Darabkan -3 kali \frac{-1+y}{3}.

$$-y+1+2y=5$$

Tambahkan -y pada 2y.

$$y+1=5$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam x=\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{3}\times 4-\frac{1}{3}$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 4.

$$x=\frac{4-1}{3}$$

Tambahkan -\frac{1}{3} pada \frac{4}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-3x+y=1,-3x+2y=5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-3\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{1}{-3\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-3\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{3}{-3\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times 5\\-1+5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-3x+y=1,-3x+2y=5$$

Tolak -3x+2y=5 daripada -3x+y=1 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-3x+3x+y-2y=1-5$$

Tambahkan -3x pada 3x. Seubtan -3x dan 3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y-2y=1-5$$

Tambahkan y pada -2y.

$$-y=1-5$$

Tambahkan 1 pada -5.

$$-y=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam -3x+2y=5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-3x+2\times 4=5$$

Darabkan 2 kali 4.

$$-3x+8=5$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=4$$