Selesaikan {l}{-3x+9y=27}{-5x-8y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 9 y = 27 } \\ { - 5 x - 8 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-3x+9y=27,-5x-8y=-1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-3x+9y=27$$

Tolak 9y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=-9y+27$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-9y+27\right)$$

Darabkan -\frac{1}{3} kali -9y+27.

$$x=3y-9$$

Gantikan -9+3y dengan x dalam persamaan lain, -5x-8y=-1.

$$-5\left(3y-9\right)-8y=-1$$

Darabkan -5 kali -9+3y.

$$-15y+45-8y=-1$$

Tambahkan -15y pada -8y.

$$-23y+45=-1$$

Tolak 45 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-23y=-46$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -23.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=3y-9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=3\times 2-9$$

Darabkan 3 kali 2.

$$x=6-9$$

Tambahkan -9 pada 6.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-3x+9y=27,-5x-8y=-1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&9\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-3\left(-8\right)-9\left(-5\right)}&-\frac{9}{-3\left(-8\right)-9\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{-3\left(-8\right)-9\left(-5\right)}&-\frac{3}{-3\left(-8\right)-9\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{69}&-\frac{3}{23}\\\frac{5}{69}&-\frac{1}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{69}\times 27-\frac{3}{23}\left(-1\right)\\\frac{5}{69}\times 27-\frac{1}{23}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-3,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-3x+9y=27,-5x-8y=-1$$

Untuk menjadikan -3x dan -5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -3.

$$-5\left(-3\right)x-5\times 9y=-5\times 27,-3\left(-5\right)x-3\left(-8\right)y=-3\left(-1\right)$$

Permudahkan.

$$15x-45y=-135,15x+24y=3$$

Tolak 15x+24y=3 daripada 15x-45y=-135 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$15x-15x-45y-24y=-135-3$$

Tambahkan 15x pada -15x. Seubtan 15x dan -15x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-45y-24y=-135-3$$

Tambahkan -45y pada -24y.

$$-69y=-135-3$$

Tambahkan -135 pada -3.

$$-69y=-138$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -69.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam -5x-8y=-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-5x-8\times 2=-1$$

Darabkan -8 kali 2.

$$-5x-16=-1$$

Tambahkan 16 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-5x=15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=2$$