Selesaikan {l}{-3x+4y=-6}{5x-y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 4 y = - 6 } \\ { 5 x - y = 10 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=0$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-3x+4y=-6,5x-y=10$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-3x+4y=-6$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=-4y-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-4y-6\right)$$

Darabkan -\frac{1}{3} kali -4y-6.

$$x=\frac{4}{3}y+2$$

Gantikan \frac{4y}{3}+2 dengan x dalam persamaan lain, 5x-y=10.

$$5\left(\frac{4}{3}y+2\right)-y=10$$

Darabkan 5 kali \frac{4y}{3}+2.

$$\frac{20}{3}y+10-y=10$$

Tambahkan \frac{20y}{3} pada -y.

$$\frac{17}{3}y+10=10$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{17}{3}y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{17}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam x=\frac{4}{3}y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=0$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-3x+4y=-6,5x-y=10$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-3\left(-1\right)-4\times 5}&-\frac{4}{-3\left(-1\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{-3\left(-1\right)-4\times 5}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{4}{17}\\\frac{5}{17}&\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\10\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}\left(-6\right)+\frac{4}{17}\times 10\\\frac{5}{17}\left(-6\right)+\frac{3}{17}\times 10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=0$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-3x+4y=-6,5x-y=10$$

Untuk menjadikan -3x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -3.

$$5\left(-3\right)x+5\times 4y=5\left(-6\right),-3\times 5x-3\left(-1\right)y=-3\times 10$$

Permudahkan.

$$-15x+20y=-30,-15x+3y=-30$$

Tolak -15x+3y=-30 daripada -15x+20y=-30 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-15x+15x+20y-3y=-30+30$$

Tambahkan -15x pada 15x. Seubtan -15x dan 15x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$20y-3y=-30+30$$

Tambahkan 20y pada -3y.

$$17y=-30+30$$

Tambahkan -30 pada 30.

$$17y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 17.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam 5x-y=10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x=10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=0$$