Selesaikan {l}{-3x+3y=-9}{6x-y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 3 y = - 9 } \\ { 6 x - y = - 12 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-3$$

$$y=-6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-3x+3y=-9,6x-y=-12$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-3x+3y=-9$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=-3y-9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-3y-9\right)$$

Darabkan -\frac{1}{3} kali -3y-9.

$$x=y+3$$

Gantikan y+3 dengan x dalam persamaan lain, 6x-y=-12.

$$6\left(y+3\right)-y=-12$$

Darabkan 6 kali y+3.

$$6y+18-y=-12$$

Tambahkan 6y pada -y.

$$5y+18=-12$$

Tolak 18 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5y=-30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=-6$$

Gantikan -6 dengan y dalam x=y+3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-6+3$$

Tambahkan 3 pada -6.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=-6$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-3x+3y=-9,6x-y=-12$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&3\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-3\left(-1\right)-3\times 6}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{-3\left(-1\right)-3\times 6}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{1}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\left(-9\right)+\frac{1}{5}\left(-12\right)\\\frac{2}{5}\left(-9\right)+\frac{1}{5}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-6\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-3,y=-6$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-3x+3y=-9,6x-y=-12$$

Untuk menjadikan -3x dan 6x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -3.

$$6\left(-3\right)x+6\times 3y=6\left(-9\right),-3\times 6x-3\left(-1\right)y=-3\left(-12\right)$$

Permudahkan.

$$-18x+18y=-54,-18x+3y=36$$

Tolak -18x+3y=36 daripada -18x+18y=-54 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-18x+18x+18y-3y=-54-36$$

Tambahkan -18x pada 18x. Seubtan -18x dan 18x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$18y-3y=-54-36$$

Tambahkan 18y pada -3y.

$$15y=-54-36$$

Tambahkan -54 pada -36.

$$15y=-90$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 15.

$$y=-6$$

Gantikan -6 dengan y dalam 6x-y=-12. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$6x-\left(-6\right)=-12$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=-18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=-6$$