Selesaikan {l}{-3x+2y=4}{x=2-y}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 2 y = 4 } \\ { x = 2 - y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=0$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan y pada kedua-dua belah.

$$x+y=2$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-3x+2y=4,x+y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-3x+2y=4$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=-2y+4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-2y+4\right)$$

Darabkan -\frac{1}{3} kali -2y+4.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}$$

Gantikan \frac{-4+2y}{3} dengan x dalam persamaan lain, x+y=2.

$$\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}+y=2$$

Tambahkan \frac{2y}{3} pada y.

$$\frac{5}{3}y-\frac{4}{3}=2$$

Tambahkan \frac{4}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{5}{3}y=\frac{10}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{5}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{2}{3}\times 2-\frac{4}{3}$$

Darabkan \frac{2}{3} kali 2.

$$x=\frac{4-4}{3}$$

Tambahkan -\frac{4}{3} pada \frac{4}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan y pada kedua-dua belah.

$$x+y=2$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-3x+2y=4,x+y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-3&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-3-2}&-\frac{2}{-3-2}\\-\frac{1}{-3-2}&-\frac{3}{-3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 4+\frac{2}{5}\times 2\\\frac{1}{5}\times 4+\frac{3}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=0,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tambahkan y pada kedua-dua belah.

$$x+y=2$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-3x+2y=4,x+y=2$$

Untuk menjadikan -3x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -3.

$$-3x+2y=4,-3x-3y=-3\times 2$$

Permudahkan.

$$-3x+2y=4,-3x-3y=-6$$

Tolak -3x-3y=-6 daripada -3x+2y=4 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-3x+3x+2y+3y=4+6$$

Tambahkan -3x pada 3x. Seubtan -3x dan 3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2y+3y=4+6$$

Tambahkan 2y pada 3y.

$$5y=4+6$$

Tambahkan 4 pada 6.

$$5y=10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x+y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+2=2$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=2$$