Selesaikan {l}{-3x+15y=59}{3x+4y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { - 3 x + 15 y = 59 } \\ { 3 x + 4 y = 17 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-3x+15y=59$$

Tolak 15y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=-15y+59$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-15y+59\right)$$

Darabkan -\frac{1}{3} kali -15y+59.

$$x=5y-\frac{59}{3}$$

Gantikan 5y-\frac{59}{3} dengan x dalam persamaan lain, 3x+4y=17.

$$3\left(5y-\frac{59}{3}\right)+4y=17$$

Darabkan 3 kali 5y-\frac{59}{3}.

$$15y-59+4y=17$$

Tambahkan 15y pada 4y.

$$19y-59=17$$

Tambahkan 59 pada kedua-dua belah persamaan.

$$19y=76$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 19.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam x=5y-\frac{59}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=5\times 4-\frac{59}{3}$$

Darabkan 5 kali 4.

$$x=20-\frac{59}{3}$$

Tambahkan -\frac{59}{3} pada 20.

$$x=\frac{1}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{3},y=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&15\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-3\times 4-15\times 3}&-\frac{15}{-3\times 4-15\times 3}\\-\frac{3}{-3\times 4-15\times 3}&-\frac{3}{-3\times 4-15\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{57}&\frac{5}{19}\\\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}59\\17\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{57}\times 59+\frac{5}{19}\times 17\\\frac{1}{19}\times 59+\frac{1}{19}\times 17\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{1}{3},y=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-3x+15y=59,3x+4y=17$$

Untuk menjadikan -3x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -3.

$$3\left(-3\right)x+3\times 15y=3\times 59,-3\times 3x-3\times 4y=-3\times 17$$

Permudahkan.

$$-9x+45y=177,-9x-12y=-51$$

Tolak -9x-12y=-51 daripada -9x+45y=177 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-9x+9x+45y+12y=177+51$$

Tambahkan -9x pada 9x. Seubtan -9x dan 9x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$45y+12y=177+51$$

Tambahkan 45y pada 12y.

$$57y=177+51$$

Tambahkan 177 pada 51.

$$57y=228$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 57.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam 3x+4y=17. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x+4\times 4=17$$

Darabkan 4 kali 4.

$$3x+16=17$$

Tolak 16 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{1}{3},y=4$$