Selesaikan {l}{-2x-6y=-26}{5x+2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x - 6 y = - 26 } \\ { 5 x + 2 y = 13 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-2x-6y=-26,5x+2y=13$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-2x-6y=-26$$

Tambahkan 6y pada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=6y-26$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(6y-26\right)$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali 6y-26.

$$x=-3y+13$$

Gantikan -3y+13 dengan x dalam persamaan lain, 5x+2y=13.

$$5\left(-3y+13\right)+2y=13$$

Darabkan 5 kali -3y+13.

$$-15y+65+2y=13$$

Tambahkan -15y pada 2y.

$$-13y+65=13$$

Tolak 65 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-13y=-52$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -13.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam x=-3y+13. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-3\times 4+13$$

Darabkan -3 kali 4.

$$x=-12+13$$

Tambahkan 13 pada -12.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-2x-6y=-26,5x+2y=13$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-26\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\13\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-6\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-26\\13\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2\times 2-\left(-6\times 5\right)}&-\frac{-6}{-2\times 2-\left(-6\times 5\right)}\\-\frac{5}{-2\times 2-\left(-6\times 5\right)}&-\frac{2}{-2\times 2-\left(-6\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{26}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-26\\13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-26\right)+\frac{3}{13}\times 13\\-\frac{5}{26}\left(-26\right)-\frac{1}{13}\times 13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-2x-6y=-26,5x+2y=13$$

Untuk menjadikan -2x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -2.

$$5\left(-2\right)x+5\left(-6\right)y=5\left(-26\right),-2\times 5x-2\times 2y=-2\times 13$$

Permudahkan.

$$-10x-30y=-130,-10x-4y=-26$$

Tolak -10x-4y=-26 daripada -10x-30y=-130 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-10x+10x-30y+4y=-130+26$$

Tambahkan -10x pada 10x. Seubtan -10x dan 10x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-30y+4y=-130+26$$

Tambahkan -30y pada 4y.

$$-26y=-130+26$$

Tambahkan -130 pada 26.

$$-26y=-104$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -26.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam 5x+2y=13. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x+2\times 4=13$$

Darabkan 2 kali 4.

$$5x+8=13$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=4$$