Selesaikan {l}{-2x+7y=4}{-4x+3y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 7 y = 4 } \\ { - 4 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{1}{11}\approx -0.090909091$$

$$y=\frac{6}{11}\approx 0.545454545$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-2x+7y=4$$

Tolak 7y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=-7y+4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-7y+4\right)$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali -7y+4.

$$x=\frac{7}{2}y-2$$

Gantikan \frac{7y}{2}-2 dengan x dalam persamaan lain, -4x+3y=2.

$$-4\left(\frac{7}{2}y-2\right)+3y=2$$

Darabkan -4 kali \frac{7y}{2}-2.

$$-14y+8+3y=2$$

Tambahkan -14y pada 3y.

$$-11y+8=2$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-11y=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -11.

$$y=\frac{6}{11}$$

Gantikan \frac{6}{11} dengan y dalam x=\frac{7}{2}y-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{7}{2}\times \frac{6}{11}-2$$

Darabkan \frac{7}{2} dengan \frac{6}{11} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{21}{11}-2$$

Tambahkan -2 pada \frac{21}{11}.

$$x=-\frac{1}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-2\times 3-7\left(-4\right)}&-\frac{7}{-2\times 3-7\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{-2\times 3-7\left(-4\right)}&-\frac{2}{-2\times 3-7\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&-\frac{7}{22}\\\frac{2}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 4-\frac{7}{22}\times 2\\\frac{2}{11}\times 4-\frac{1}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\\\frac{6}{11}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-2x+7y=4,-4x+3y=2$$

Untuk menjadikan -2x dan -4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -2.

$$-4\left(-2\right)x-4\times 7y=-4\times 4,-2\left(-4\right)x-2\times 3y=-2\times 2$$

Permudahkan.

$$8x-28y=-16,8x-6y=-4$$

Tolak 8x-6y=-4 daripada 8x-28y=-16 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$8x-8x-28y+6y=-16+4$$

Tambahkan 8x pada -8x. Seubtan 8x dan -8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-28y+6y=-16+4$$

Tambahkan -28y pada 6y.

$$-22y=-16+4$$

Tambahkan -16 pada 4.

$$-22y=-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -22.

$$y=\frac{6}{11}$$

Gantikan \frac{6}{11} dengan y dalam -4x+3y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-4x+3\times \frac{6}{11}=2$$

Darabkan 3 kali \frac{6}{11}.

$$-4x+\frac{18}{11}=2$$

Tolak \frac{18}{11} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-4x=\frac{4}{11}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$x=-\frac{1}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{1}{11},y=\frac{6}{11}$$