Selesaikan {l}{-2x+3y=1}{3x+-4y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 3 y = 1 } \\ { 3 x + - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-2x+3y=1,3x-4y=-1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-2x+3y=1$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=-3y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3y+1\right)$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali -3y+1.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}$$

Gantikan \frac{3y-1}{2} dengan x dalam persamaan lain, 3x-4y=-1.

$$3\left(\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}\right)-4y=-1$$

Darabkan 3 kali \frac{3y-1}{2}.

$$\frac{9}{2}y-\frac{3}{2}-4y=-1$$

Tambahkan \frac{9y}{2} pada -4y.

$$\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}=-1$$

Tambahkan \frac{3}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3-1}{2}$$

Tambahkan -\frac{1}{2} pada \frac{3}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-2x+3y=1,3x-4y=-1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-2\left(-4\right)-3\times 3}&-\frac{3}{-2\left(-4\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{-2\left(-4\right)-3\times 3}&-\frac{2}{-2\left(-4\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4+3\left(-1\right)\\3+2\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-2x+3y=1,3x-4y=-1$$

Untuk menjadikan -2x dan 3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -2.

$$3\left(-2\right)x+3\times 3y=3,-2\times 3x-2\left(-4\right)y=-2\left(-1\right)$$

Permudahkan.

$$-6x+9y=3,-6x+8y=2$$

Tolak -6x+8y=2 daripada -6x+9y=3 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-6x+6x+9y-8y=3-2$$

Tambahkan -6x pada 6x. Seubtan -6x dan 6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$9y-8y=3-2$$

Tambahkan 9y pada -8y.

$$y=3-2$$

Tambahkan 3 pada -2.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam 3x-4y=-1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$3x-4=-1$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=1$$