Selesaikan {l}{-2x+15y=-24}{2x+9y=24}

$$\left. \begin{array} { l } { - 2 x + 15 y = - 24 } \\ { 2 x + 9 y = 24 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=12$$

$$y=0$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-2x+15y=-24,2x+9y=24$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-2x+15y=-24$$

Tolak 15y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=-15y-24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-15y-24\right)$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali -15y-24.

$$x=\frac{15}{2}y+12$$

Gantikan \frac{15y}{2}+12 dengan x dalam persamaan lain, 2x+9y=24.

$$2\left(\frac{15}{2}y+12\right)+9y=24$$

Darabkan 2 kali \frac{15y}{2}+12.

$$15y+24+9y=24$$

Tambahkan 15y pada 9y.

$$24y+24=24$$

Tolak 24 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$24y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 24.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam x=\frac{15}{2}y+12. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=12$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=12,y=0$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-2x+15y=-24,2x+9y=24$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&15\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{-2\times 9-15\times 2}&-\frac{15}{-2\times 9-15\times 2}\\-\frac{2}{-2\times 9-15\times 2}&-\frac{2}{-2\times 9-15\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\\\frac{1}{24}&\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\24\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{16}\left(-24\right)+\frac{5}{16}\times 24\\\frac{1}{24}\left(-24\right)+\frac{1}{24}\times 24\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=12,y=0$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-2x+15y=-24,2x+9y=24$$

Untuk menjadikan -2x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -2.

$$2\left(-2\right)x+2\times 15y=2\left(-24\right),-2\times 2x-2\times 9y=-2\times 24$$

Permudahkan.

$$-4x+30y=-48,-4x-18y=-48$$

Tolak -4x-18y=-48 daripada -4x+30y=-48 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-4x+4x+30y+18y=-48+48$$

Tambahkan -4x pada 4x. Seubtan -4x dan 4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$30y+18y=-48+48$$

Tambahkan 30y pada 18y.

$$48y=-48+48$$

Tambahkan -48 pada 48.

$$48y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 48.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam 2x+9y=24. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x=24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=12$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=12,y=0$$