Selesaikan {l}{-15B-3A=-14}{-5A+B=7}

$$\left. \begin{array} { l } { - 15 B - 3 A = - 14 } \\ { - 5 A + B = 7 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk B, A

$$B = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

$$A = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk B dengan mengasingkan B di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-15B-3A=-14$$

Tambahkan 3A pada kedua-dua belah persamaan.

$$-15B=3A-14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -15.

$$B=-\frac{1}{15}\left(3A-14\right)$$

Darabkan -\frac{1}{15} kali 3A-14.

$$B=-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15}$$

Gantikan -\frac{A}{5}+\frac{14}{15} dengan B dalam persamaan lain, B-5A=7.

$$-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15}-5A=7$$

Tambahkan -\frac{A}{5} pada -5A.

$$-\frac{26}{5}A+\frac{14}{15}=7$$

Tolak \frac{14}{15} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{26}{5}A=\frac{91}{15}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{26}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$A=-\frac{7}{6}$$

Gantikan -\frac{7}{6} dengan A dalam B=-\frac{1}{5}A+\frac{14}{15}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk B.

$$B=-\frac{1}{5}\left(-\frac{7}{6}\right)+\frac{14}{15}$$

Darabkan -\frac{1}{5} dengan -\frac{7}{6} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$B=\frac{7}{30}+\frac{14}{15}$$

Tambahkan \frac{14}{15} pada \frac{7}{30} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$B=\frac{7}{6}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&-3\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}&-\frac{15}{-15\left(-5\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}&\frac{1}{26}\\-\frac{1}{78}&-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}\left(-14\right)+\frac{1}{26}\times 7\\-\frac{1}{78}\left(-14\right)-\frac{5}{26}\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}B\\A\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{6}\\-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks B dan A.

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-15B-3A=-14,B-5A=7$$

Untuk menjadikan -15B dan B sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -15.

$$-15B-3A=-14,-15B-15\left(-5\right)A=-15\times 7$$

Permudahkan.

$$-15B-3A=-14,-15B+75A=-105$$

Tolak -15B+75A=-105 daripada -15B-3A=-14 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-15B+15B-3A-75A=-14+105$$

Tambahkan -15B pada 15B. Seubtan -15B dan 15B saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-3A-75A=-14+105$$

Tambahkan -3A pada -75A.

$$-78A=-14+105$$

Tambahkan -14 pada 105.

$$-78A=91$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -78.

$$A=-\frac{7}{6}$$

Gantikan -\frac{7}{6} dengan A dalam B-5A=7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk B.

$$B-5\left(-\frac{7}{6}\right)=7$$

Darabkan -5 kali -\frac{7}{6}.

$$B+\frac{35}{6}=7$$

Tolak \frac{35}{6} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$B=\frac{7}{6}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$B=\frac{7}{6},A=-\frac{7}{6}$$