Selesaikan {l}{-15A+3B=21}{-15B-3A=-14}

$$\left. \begin{array} { l } { - 15 A + 3 B = 21 } \\ { - 15 B - 3 A = - 14 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk A, B

$$A = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1.166666667$$

$$B = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6} \approx 1.166666667$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk A dengan mengasingkan A di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-15A+3B=21$$

Tolak 3B daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-15A=-3B+21$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -15.

$$A=-\frac{1}{15}\left(-3B+21\right)$$

Darabkan -\frac{1}{15} kali -3B+21.

$$A=\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}$$

Gantikan \frac{-7+B}{5} dengan A dalam persamaan lain, -3A-15B=-14.

$$-3\left(\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}\right)-15B=-14$$

Darabkan -3 kali \frac{-7+B}{5}.

$$-\frac{3}{5}B+\frac{21}{5}-15B=-14$$

Tambahkan -\frac{3B}{5} pada -15B.

$$-\frac{78}{5}B+\frac{21}{5}=-14$$

Tolak \frac{21}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{78}{5}B=-\frac{91}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{78}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$B=\frac{7}{6}$$

Gantikan \frac{7}{6} dengan B dalam A=\frac{1}{5}B-\frac{7}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk A.

$$A=\frac{1}{5}\times \frac{7}{6}-\frac{7}{5}$$

Darabkan \frac{1}{5} dengan \frac{7}{6} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$A=\frac{7}{30}-\frac{7}{5}$$

Tambahkan -\frac{7}{5} pada \frac{7}{30} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$A=-\frac{7}{6}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-15&3\\-3&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{15}{-15\left(-15\right)-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}&-\frac{1}{78}\\\frac{1}{78}&-\frac{5}{78}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\-14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{78}\times 21-\frac{1}{78}\left(-14\right)\\\frac{1}{78}\times 21-\frac{5}{78}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\\\frac{7}{6}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks A dan B.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-15A+3B=21,-3A-15B=-14$$

Untuk menjadikan -15A dan -3A sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -15.

$$-3\left(-15\right)A-3\times 3B=-3\times 21,-15\left(-3\right)A-15\left(-15\right)B=-15\left(-14\right)$$

Permudahkan.

$$45A-9B=-63,45A+225B=210$$

Tolak 45A+225B=210 daripada 45A-9B=-63 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$45A-45A-9B-225B=-63-210$$

Tambahkan 45A pada -45A. Seubtan 45A dan -45A saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-9B-225B=-63-210$$

Tambahkan -9B pada -225B.

$$-234B=-63-210$$

Tambahkan -63 pada -210.

$$-234B=-273$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -234.

$$B=\frac{7}{6}$$

Gantikan \frac{7}{6} dengan B dalam -3A-15B=-14. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk A.

$$-3A-15\times \frac{7}{6}=-14$$

Darabkan -15 kali \frac{7}{6}.

$$-3A-\frac{35}{2}=-14$$

Tambahkan \frac{35}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-3A=\frac{7}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$A=-\frac{7}{6}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$A=-\frac{7}{6},B=\frac{7}{6}$$