Selesaikan {l}{-10y+9x=-9}{10y+5x=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 y + 9 x = - 9 } \\ { 10 y + 5 x = - 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=-1$$

$$y=0$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-10y+9x=-9$$

Tolak 9x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-10y=-9x-9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -10.

$$y=-\frac{1}{10}\left(-9x-9\right)$$

Darabkan -\frac{1}{10} kali -9x-9.

$$y=\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}$$

Gantikan \frac{9+9x}{10} dengan y dalam persamaan lain, 10y+5x=-5.

$$10\left(\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}\right)+5x=-5$$

Darabkan 10 kali \frac{9+9x}{10}.

$$9x+9+5x=-5$$

Tambahkan 9x pada 5x.

$$14x+9=-5$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$14x=-14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 14.

$$x=-1$$

Gantikan -1 dengan x dalam y=\frac{9}{10}x+\frac{9}{10}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=\frac{9}{10}\left(-1\right)+\frac{9}{10}$$

Darabkan \frac{9}{10} kali -1.

$$y=\frac{-9+9}{10}$$

Tambahkan \frac{9}{10} pada -\frac{9}{10} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$y=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=0,x=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&9\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-9\times 10}&-\frac{9}{-10\times 5-9\times 10}\\-\frac{10}{-10\times 5-9\times 10}&-\frac{10}{-10\times 5-9\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{28}&\frac{9}{140}\\\frac{1}{14}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{28}\left(-9\right)+\frac{9}{140}\left(-5\right)\\\frac{1}{14}\left(-9\right)+\frac{1}{14}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=0,x=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-10y+9x=-9,10y+5x=-5$$

Untuk menjadikan -10y dan 10y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 10 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -10.

$$10\left(-10\right)y+10\times 9x=10\left(-9\right),-10\times 10y-10\times 5x=-10\left(-5\right)$$

Permudahkan.

$$-100y+90x=-90,-100y-50x=50$$

Tolak -100y-50x=50 daripada -100y+90x=-90 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-100y+100y+90x+50x=-90-50$$

Tambahkan -100y pada 100y. Seubtan -100y dan 100y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$90x+50x=-90-50$$

Tambahkan 90x pada 50x.

$$140x=-90-50$$

Tambahkan -90 pada -50.

$$140x=-140$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 140.

$$x=-1$$

Gantikan -1 dengan x dalam 10y+5x=-5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$10y+5\left(-1\right)=-5$$

Darabkan 5 kali -1.

$$10y-5=-5$$

Tambahkan 5 pada kedua-dua belah persamaan.

$$10y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$y=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=0,x=-1$$