Selesaikan {l}{-10x+6y=-14}{-x+4y=-15}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x + 6 y = - 14 } \\ { - x + 4 y = - 15 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-1$$

$$y=-4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-10x+6y=-14,-x+4y=-15$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-10x+6y=-14$$

Tolak 6y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-10x=-6y-14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -10.

$$x=-\frac{1}{10}\left(-6y-14\right)$$

Darabkan -\frac{1}{10} kali -6y-14.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}$$

Gantikan \frac{3y+7}{5} dengan x dalam persamaan lain, -x+4y=-15.

$$-\left(\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}\right)+4y=-15$$

Darabkan -1 kali \frac{3y+7}{5}.

$$-\frac{3}{5}y-\frac{7}{5}+4y=-15$$

Tambahkan -\frac{3y}{5} pada 4y.

$$\frac{17}{5}y-\frac{7}{5}=-15$$

Tambahkan \frac{7}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{17}{5}y=-\frac{68}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{17}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-4$$

Gantikan -4 dengan y dalam x=\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{3}{5}\left(-4\right)+\frac{7}{5}$$

Darabkan \frac{3}{5} kali -4.

$$x=\frac{-12+7}{5}$$

Tambahkan \frac{7}{5} pada -\frac{12}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=-4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-10x+6y=-14,-x+4y=-15$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-10&6\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-15\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-10&6\\-1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&6\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&6\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&6\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-15\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&6\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&6\\-1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-15\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-10\times 4-6\left(-1\right)}&-\frac{6}{-10\times 4-6\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-10\times 4-6\left(-1\right)}&-\frac{10}{-10\times 4-6\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\-\frac{1}{34}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{17}\left(-14\right)+\frac{3}{17}\left(-15\right)\\-\frac{1}{34}\left(-14\right)+\frac{5}{17}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-1,y=-4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-10x+6y=-14,-x+4y=-15$$

Untuk menjadikan -10x dan -x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -10.

$$-\left(-10\right)x-6y=-\left(-14\right),-10\left(-1\right)x-10\times 4y=-10\left(-15\right)$$

Permudahkan.

$$10x-6y=14,10x-40y=150$$

Tolak 10x-40y=150 daripada 10x-6y=14 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$10x-10x-6y+40y=14-150$$

Tambahkan 10x pada -10x. Seubtan 10x dan -10x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-6y+40y=14-150$$

Tambahkan -6y pada 40y.

$$34y=14-150$$

Tambahkan 14 pada -150.

$$34y=-136$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 34.

$$y=-4$$

Gantikan -4 dengan y dalam -x+4y=-15. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-x+4\left(-4\right)=-15$$

Darabkan 4 kali -4.

$$-x-16=-15$$

Tambahkan 16 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=-1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-1,y=-4$$