Selesaikan {l}{-10x+20y=460}{30x+60y=1620}

$$\left. \begin{array} { l } { - 10 x + 20 y = 460 } \\ { 30 x + 60 y = 1620 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=4$$

$$y=25$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-10x+20y=460$$

Tolak 20y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-10x=-20y+460$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -10.

$$x=-\frac{1}{10}\left(-20y+460\right)$$

Darabkan -\frac{1}{10} kali -20y+460.

$$x=2y-46$$

Gantikan -46+2y dengan x dalam persamaan lain, 30x+60y=1620.

$$30\left(2y-46\right)+60y=1620$$

Darabkan 30 kali -46+2y.

$$60y-1380+60y=1620$$

Tambahkan 60y pada 60y.

$$120y-1380=1620$$

Tambahkan 1380 pada kedua-dua belah persamaan.

$$120y=3000$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 120.

$$y=25$$

Gantikan 25 dengan y dalam x=2y-46. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=2\times 25-46$$

Darabkan 2 kali 25.

$$x=50-46$$

Tambahkan -46 pada 50.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=25$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&20\\30&60\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{60}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{20}{-10\times 60-20\times 30}\\-\frac{30}{-10\times 60-20\times 30}&-\frac{10}{-10\times 60-20\times 30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}&\frac{1}{60}\\\frac{1}{40}&\frac{1}{120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\1620\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{20}\times 460+\frac{1}{60}\times 1620\\\frac{1}{40}\times 460+\frac{1}{120}\times 1620\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\25\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=4,y=25$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-10x+20y=460,30x+60y=1620$$

Untuk menjadikan -10x dan 30x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 30 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -10.

$$30\left(-10\right)x+30\times 20y=30\times 460,-10\times 30x-10\times 60y=-10\times 1620$$

Permudahkan.

$$-300x+600y=13800,-300x-600y=-16200$$

Tolak -300x-600y=-16200 daripada -300x+600y=13800 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-300x+300x+600y+600y=13800+16200$$

Tambahkan -300x pada 300x. Seubtan -300x dan 300x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$600y+600y=13800+16200$$

Tambahkan 600y pada 600y.

$$1200y=13800+16200$$

Tambahkan 13800 pada 16200.

$$1200y=30000$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 1200.

$$y=25$$

Gantikan 25 dengan y dalam 30x+60y=1620. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$30x+60\times 25=1620$$

Darabkan 60 kali 25.

$$30x+1500=1620$$

Tolak 1500 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$30x=120$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 30.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=25$$