Selesaikan {l}{-0.8x+2.3y=3.6}{1.6x-1.2y=6.4}

$$\left. \begin{array} { l } { - 0.8 x + 2.3 y = 3.6 } \\ { 1.6 x - 1.2 y = 6.4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=7$$

$$y=4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-0.8x+2.3y=3.6,1.6x-1.2y=6.4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-0.8x+2.3y=3.6$$

Tolak \frac{23y}{10} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-0.8x=-2.3y+3.6$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -0.8 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=-1.25\left(-2.3y+3.6\right)$$

Darabkan -1.25 kali -\frac{23y}{10}+3.6.

$$x=2.875y-4.5$$

Gantikan \frac{23y}{8}-4.5 dengan x dalam persamaan lain, 1.6x-1.2y=6.4.

$$1.6\left(2.875y-4.5\right)-1.2y=6.4$$

Darabkan 1.6 kali \frac{23y}{8}-4.5.

$$4.6y-7.2-1.2y=6.4$$

Tambahkan \frac{23y}{5} pada -\frac{6y}{5}.

$$3.4y-7.2=6.4$$

Tambahkan 7.2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$3.4y=13.6$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 3.4 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam x=2.875y-4.5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=2.875\times 4-4.5$$

Darabkan 2.875 kali 4.

$$x=\frac{23-9}{2}$$

Tambahkan -4.5 pada 11.5 dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=7,y=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-0.8x+2.3y=3.6,1.6x-1.2y=6.4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.8&2.3\\1.6&-1.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1.2}{-0.8\left(-1.2\right)-2.3\times 1.6}&-\frac{2.3}{-0.8\left(-1.2\right)-2.3\times 1.6}\\-\frac{1.6}{-0.8\left(-1.2\right)-2.3\times 1.6}&-\frac{0.8}{-0.8\left(-1.2\right)-2.3\times 1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{34}&\frac{115}{136}\\\frac{10}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3.6\\6.4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{34}\times 3.6+\frac{115}{136}\times 6.4\\\frac{10}{17}\times 3.6+\frac{5}{17}\times 6.4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=7,y=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-0.8x+2.3y=3.6,1.6x-1.2y=6.4$$

Untuk menjadikan -\frac{4x}{5} dan \frac{8x}{5} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1.6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -0.8.

$$1.6\left(-0.8\right)x+1.6\times 2.3y=1.6\times 3.6,-0.8\times 1.6x-0.8\left(-1.2\right)y=-0.8\times 6.4$$

Permudahkan.

$$-1.28x+3.68y=5.76,-1.28x+0.96y=-5.12$$

Tolak -1.28x+0.96y=-5.12 daripada -1.28x+3.68y=5.76 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-1.28x+1.28x+3.68y-0.96y=\frac{144+128}{25}$$

Tambahkan -\frac{32x}{25} pada \frac{32x}{25}. Seubtan -\frac{32x}{25} dan \frac{32x}{25} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3.68y-0.96y=\frac{144+128}{25}$$

Tambahkan \frac{92y}{25} pada -\frac{24y}{25}.

$$2.72y=\frac{144+128}{25}$$

Tambahkan 5.76 pada 5.12 dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$2.72y=10.88$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 2.72 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=4$$

Gantikan 4 dengan y dalam 1.6x-1.2y=6.4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$1.6x-1.2\times 4=6.4$$

Darabkan -1.2 kali 4.

$$1.6x-4.8=6.4$$

Tambahkan 4.8 pada kedua-dua belah persamaan.

$$1.6x=11.2$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 1.6 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=7$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=7,y=4$$