Selesaikan {l}{-0.5x+0.1y=350}{0.4x+0.2y=0}{text{Thesolutionis}}

$$\left. \begin{array} { l } { - 0.5 x + 0.1 y = 350 } \\ { 0.4 x + 0.2 y = 0 } \\ { \text { The solution is } } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-500$$

$$y=1000$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-0.5x+0.1y=350$$

Tolak \frac{y}{10} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-0.5x=-0.1y+350$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=-2\left(-0.1y+350\right)$$

Darabkan -2 kali -\frac{y}{10}+350.

$$x=0.2y-700$$

Gantikan \frac{y}{5}-700 dengan x dalam persamaan lain, 0.4x+0.2y=0.

$$0.4\left(0.2y-700\right)+0.2y=0$$

Darabkan 0.4 kali \frac{y}{5}-700.

$$0.08y-280+0.2y=0$$

Tambahkan \frac{2y}{25} pada \frac{y}{5}.

$$0.28y-280=0$$

Tambahkan 280 pada kedua-dua belah persamaan.

$$0.28y=280$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 0.28 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=1000$$

Gantikan 1000 dengan y dalam x=0.2y-700. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=0.2\times 1000-700$$

Darabkan 0.2 kali 1000.

$$x=200-700$$

Tambahkan -700 pada 200.

$$x=-500$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-500,y=1000$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-0.5&0.1\\0.4&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}&-\frac{0.1}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}\\-\frac{0.4}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}&-\frac{0.5}{-0.5\times 0.2-0.1\times 0.4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{20}{7}&\frac{25}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}350\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}\times 350\\\frac{20}{7}\times 350\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-500\\1000\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-500,y=1000$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-0.5x+0.1y=350,0.4x+0.2y=0$$

Untuk menjadikan -\frac{x}{2} dan \frac{2x}{5} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 0.4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -0.5.

$$0.4\left(-0.5\right)x+0.4\times 0.1y=0.4\times 350,-0.5\times 0.4x-0.5\times 0.2y=0$$

Permudahkan.

$$-0.2x+0.04y=140,-0.2x-0.1y=0$$

Tolak -0.2x-0.1y=0 daripada -0.2x+0.04y=140 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-0.2x+0.2x+0.04y+0.1y=140$$

Tambahkan -\frac{x}{5} pada \frac{x}{5}. Seubtan -\frac{x}{5} dan \frac{x}{5} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$0.04y+0.1y=140$$

Tambahkan \frac{y}{25} pada \frac{y}{10}.

$$0.14y=140$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 0.14 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=1000$$

Gantikan 1000 dengan y dalam 0.4x+0.2y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$0.4x+0.2\times 1000=0$$

Darabkan 0.2 kali 1000.

$$0.4x+200=0$$

Tolak 200 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$0.4x=-200$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 0.4 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=-500$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-500,y=1000$$