Selesaikan {l}{-5/8x+3/4y=31}{1/2x+2/3y=36}

$$\left. \begin{array} { l } { - \frac { 5 } { 8 } x + \frac { 3 } { 4 } y = 31 } \\ { \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 2 } { 3 } y = 36 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=8$$

$$y=48$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-\frac{5}{8}x+\frac{3}{4}y=31,\frac{1}{2}x+\frac{2}{3}y=36$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-\frac{5}{8}x+\frac{3}{4}y=31$$

Tolak \frac{3y}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{5}{8}x=-\frac{3}{4}y+31$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{5}{8} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=-\frac{8}{5}\left(-\frac{3}{4}y+31\right)$$

Darabkan -\frac{8}{5} kali -\frac{3y}{4}+31.

$$x=\frac{6}{5}y-\frac{248}{5}$$

Gantikan \frac{6y-248}{5} dengan x dalam persamaan lain, \frac{1}{2}x+\frac{2}{3}y=36.

$$\frac{1}{2}\left(\frac{6}{5}y-\frac{248}{5}\right)+\frac{2}{3}y=36$$

Darabkan \frac{1}{2} kali \frac{6y-248}{5}.

$$\frac{3}{5}y-\frac{124}{5}+\frac{2}{3}y=36$$

Tambahkan \frac{3y}{5} pada \frac{2y}{3}.

$$\frac{19}{15}y-\frac{124}{5}=36$$

Tambahkan \frac{124}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{19}{15}y=\frac{304}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{19}{15} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=48$$

Gantikan 48 dengan y dalam x=\frac{6}{5}y-\frac{248}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{6}{5}\times 48-\frac{248}{5}$$

Darabkan \frac{6}{5} kali 48.

$$x=\frac{288-248}{5}$$

Tambahkan -\frac{248}{5} pada \frac{288}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=8,y=48$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-\frac{5}{8}x+\frac{3}{4}y=31,\frac{1}{2}x+\frac{2}{3}y=36$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\36\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\36\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\36\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\36\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{5}{8}\times \frac{2}{3}-\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}}&-\frac{\frac{3}{4}}{-\frac{5}{8}\times \frac{2}{3}-\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{5}{8}\times \frac{2}{3}-\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}}&-\frac{\frac{5}{8}}{-\frac{5}{8}\times \frac{2}{3}-\frac{3}{4}\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\36\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{19}&\frac{18}{19}\\\frac{12}{19}&\frac{15}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\36\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{19}\times 31+\frac{18}{19}\times 36\\\frac{12}{19}\times 31+\frac{15}{19}\times 36\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\48\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=8,y=48$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-\frac{5}{8}x+\frac{3}{4}y=31,\frac{1}{2}x+\frac{2}{3}y=36$$

Untuk menjadikan -\frac{5x}{8} dan \frac{x}{2} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan \frac{1}{2} dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -\frac{5}{8}.

$$\frac{1}{2}\left(-\frac{5}{8}\right)x+\frac{1}{2}\times \frac{3}{4}y=\frac{1}{2}\times 31,-\frac{5}{8}\times \frac{1}{2}x-\frac{5}{8}\times \frac{2}{3}y=-\frac{5}{8}\times 36$$

Permudahkan.

$$-\frac{5}{16}x+\frac{3}{8}y=\frac{31}{2},-\frac{5}{16}x-\frac{5}{12}y=-\frac{45}{2}$$

Tolak -\frac{5}{16}x-\frac{5}{12}y=-\frac{45}{2} daripada -\frac{5}{16}x+\frac{3}{8}y=\frac{31}{2} dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-\frac{5}{16}x+\frac{5}{16}x+\frac{3}{8}y+\frac{5}{12}y=\frac{31+45}{2}$$

Tambahkan -\frac{5x}{16} pada \frac{5x}{16}. Seubtan -\frac{5x}{16} dan \frac{5x}{16} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$\frac{3}{8}y+\frac{5}{12}y=\frac{31+45}{2}$$

Tambahkan \frac{3y}{8} pada \frac{5y}{12}.

$$\frac{19}{24}y=\frac{31+45}{2}$$

Tambahkan \frac{31}{2} pada \frac{45}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$\frac{19}{24}y=38$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{19}{24} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=48$$

Gantikan 48 dengan y dalam \frac{1}{2}x+\frac{2}{3}y=36. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$\frac{1}{2}x+\frac{2}{3}\times 48=36$$

Darabkan \frac{2}{3} kali 48.

$$\frac{1}{2}x+32=36$$

Tolak 32 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{2}x=4$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=8,y=48$$