Selesaikan {l}{(x-2)(y+5)=(x-1)(y+2)}{(y-3)(x+4)=(x+7)(y-4)}

$$\left. \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ( y + 5 ) = ( x - 1 ) ( y + 2 ) } \\ { ( y - 3 ) ( x + 4 ) = ( x + 7 ) ( y - 4 ) } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=5$$

$$y=7$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x-2 dengan y+5.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x-1 dengan y+2.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

Tolak xy daripada kedua-dua belah.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

Gabungkan xy dan -xy untuk mendapatkan 0.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

Gabungkan 5x dan -2x untuk mendapatkan 3x.

$$3x-2y-10=-y-2$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah.

$$3x-2y-10+y=-2$$

Gabungkan -2y dan y untuk mendapatkan -y.

$$3x-y-10=-2$$

Tambahkan 10 pada kedua-dua belah.

$$3x-y=-2+10$$

Tambahkan -2 dan 10 untuk dapatkan 8.

$$3x-y=8$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab y-3 dengan x+4.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x+7 dengan y-4.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

Tolak xy daripada kedua-dua belah.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

Gabungkan yx dan -xy untuk mendapatkan 0.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

Tambahkan 4x pada kedua-dua belah.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

Gabungkan -3x dan 4x untuk mendapatkan x.

$$4y+x-12=7y-28$$

Tolak 7y daripada kedua-dua belah.

$$4y+x-12-7y=-28$$

Gabungkan 4y dan -7y untuk mendapatkan -3y.

$$-3y+x-12=-28$$

Tambahkan 12 pada kedua-dua belah.

$$-3y+x=-28+12$$

Tambahkan -28 dan 12 untuk dapatkan -16.

$$-3y+x=-16$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-y=8$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=y+8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+8\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali y+8.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}$$

Gantikan \frac{8+y}{3} dengan x dalam persamaan lain, x-3y=-16.

$$\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}-3y=-16$$

Tambahkan \frac{y}{3} pada -3y.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{8}{3}=-16$$

Tolak \frac{8}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{8}{3}y=-\frac{56}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{8}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=7$$

Gantikan 7 dengan y dalam x=\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{3}\times 7+\frac{8}{3}$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 7.

$$x=\frac{7+8}{3}$$

Tambahkan \frac{8}{3} pada \frac{7}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=7$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x-2 dengan y+5.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x-1 dengan y+2.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

Tolak xy daripada kedua-dua belah.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

Gabungkan xy dan -xy untuk mendapatkan 0.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

Gabungkan 5x dan -2x untuk mendapatkan 3x.

$$3x-2y-10=-y-2$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah.

$$3x-2y-10+y=-2$$

Gabungkan -2y dan y untuk mendapatkan -y.

$$3x-y-10=-2$$

Tambahkan 10 pada kedua-dua belah.

$$3x-y=-2+10$$

Tambahkan -2 dan 10 untuk dapatkan 8.

$$3x-y=8$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab y-3 dengan x+4.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x+7 dengan y-4.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

Tolak xy daripada kedua-dua belah.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

Gabungkan yx dan -xy untuk mendapatkan 0.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

Tambahkan 4x pada kedua-dua belah.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

Gabungkan -3x dan 4x untuk mendapatkan x.

$$4y+x-12=7y-28$$

Tolak 7y daripada kedua-dua belah.

$$4y+x-12-7y=-28$$

Gabungkan 4y dan -7y untuk mendapatkan -3y.

$$-3y+x-12=-28$$

Tambahkan 12 pada kedua-dua belah.

$$-3y+x=-28+12$$

Tambahkan -28 dan 12 untuk dapatkan -16.

$$-3y+x=-16$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 8-\frac{1}{8}\left(-16\right)\\\frac{1}{8}\times 8-\frac{3}{8}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=5,y=7$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x-2 dengan y+5.

$$xy+5x-2y-10=\left(x-1\right)\left(y+2\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x-1 dengan y+2.

$$xy+5x-2y-10=xy+2x-y-2$$

Tolak xy daripada kedua-dua belah.

$$xy+5x-2y-10-xy=2x-y-2$$

Gabungkan xy dan -xy untuk mendapatkan 0.

$$5x-2y-10=2x-y-2$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$5x-2y-10-2x=-y-2$$

Gabungkan 5x dan -2x untuk mendapatkan 3x.

$$3x-2y-10=-y-2$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah.

$$3x-2y-10+y=-2$$

Gabungkan -2y dan y untuk mendapatkan -y.

$$3x-y-10=-2$$

Tambahkan 10 pada kedua-dua belah.

$$3x-y=-2+10$$

Tambahkan -2 dan 10 untuk dapatkan 8.

$$3x-y=8$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab y-3 dengan x+4.

$$yx+4y-3x-12=\left(x+7\right)\left(y-4\right)$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab x+7 dengan y-4.

$$yx+4y-3x-12=xy-4x+7y-28$$

Tolak xy daripada kedua-dua belah.

$$yx+4y-3x-12-xy=-4x+7y-28$$

Gabungkan yx dan -xy untuk mendapatkan 0.

$$4y-3x-12=-4x+7y-28$$

Tambahkan 4x pada kedua-dua belah.

$$4y-3x-12+4x=7y-28$$

Gabungkan -3x dan 4x untuk mendapatkan x.

$$4y+x-12=7y-28$$

Tolak 7y daripada kedua-dua belah.

$$4y+x-12-7y=-28$$

Gabungkan 4y dan -7y untuk mendapatkan -3y.

$$-3y+x-12=-28$$

Tambahkan 12 pada kedua-dua belah.

$$-3y+x=-28+12$$

Tambahkan -28 dan 12 untuk dapatkan -16.

$$-3y+x=-16$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-y=8,x-3y=-16$$

Untuk menjadikan 3x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$3x-y=8,3x+3\left(-3\right)y=3\left(-16\right)$$

Permudahkan.

$$3x-y=8,3x-9y=-48$$

Tolak 3x-9y=-48 daripada 3x-y=8 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x-y+9y=8+48$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-y+9y=8+48$$

Tambahkan -y pada 9y.

$$8y=8+48$$

Tambahkan 8 pada 48.

$$8y=56$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$y=7$$

Gantikan 7 dengan y dalam x-3y=-16. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-3\times 7=-16$$

Darabkan -3 kali 7.

$$x-21=-16$$

Tambahkan 21 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=7$$