Selesaikan {l}{(A+B)3-B=6}{(2A+B)3^2-B=42}

$$\left. \begin{array} { l } { ( A + B ) 3 - B = 6 } \\ { ( 2 A + B ) 3 ^ { 2 } - B = 42 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk A, B

$$A=3$$

$$B = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab A+B dengan 3.

$$3A+3B-B=6$$

Gabungkan 3B dan -B untuk mendapatkan 2B.

$$3A+2B=6$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Kira 3 dikuasakan 2 dan dapatkan 9.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2A+B dengan 9.

$$18A+9B-B=42$$

Gabungkan 9B dan -B untuk mendapatkan 8B.

$$18A+8B=42$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk A dengan mengasingkan A di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3A+2B=6$$

Tolak 2B daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3A=-2B+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$A=\frac{1}{3}\left(-2B+6\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -2B+6.

$$A=-\frac{2}{3}B+2$$

Gantikan -\frac{2B}{3}+2 dengan A dalam persamaan lain, 18A+8B=42.

$$18\left(-\frac{2}{3}B+2\right)+8B=42$$

Darabkan 18 kali -\frac{2B}{3}+2.

$$-12B+36+8B=42$$

Tambahkan -12B pada 8B.

$$-4B+36=42$$

Tolak 36 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-4B=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$B=-\frac{3}{2}$$

Gantikan -\frac{3}{2} dengan B dalam A=-\frac{2}{3}B+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk A.

$$A=-\frac{2}{3}\left(-\frac{3}{2}\right)+2$$

Darabkan -\frac{2}{3} dengan -\frac{3}{2} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$A=1+2$$

Tambahkan 2 pada 1.

$$A=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab A+B dengan 3.

$$3A+3B-B=6$$

Gabungkan 3B dan -B untuk mendapatkan 2B.

$$3A+2B=6$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Kira 3 dikuasakan 2 dan dapatkan 9.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2A+B dengan 9.

$$18A+9B-B=42$$

Gabungkan 9B dan -B untuk mendapatkan 8B.

$$18A+8B=42$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\18&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-2\times 18}&-\frac{2}{3\times 8-2\times 18}\\-\frac{18}{3\times 8-2\times 18}&\frac{3}{3\times 8-2\times 18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{6}\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\42\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 6+\frac{1}{6}\times 42\\\frac{3}{2}\times 6-\frac{1}{4}\times 42\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks A dan B.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab A+B dengan 3.

$$3A+3B-B=6$$

Gabungkan 3B dan -B untuk mendapatkan 2B.

$$3A+2B=6$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Kira 3 dikuasakan 2 dan dapatkan 9.

$$\left(2A+B\right)\times 9-B=42$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 2A+B dengan 9.

$$18A+9B-B=42$$

Gabungkan 9B dan -B untuk mendapatkan 8B.

$$18A+8B=42$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3A+2B=6,18A+8B=42$$

Untuk menjadikan 3A dan 18A sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 18 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$18\times 3A+18\times 2B=18\times 6,3\times 18A+3\times 8B=3\times 42$$

Permudahkan.

$$54A+36B=108,54A+24B=126$$

Tolak 54A+24B=126 daripada 54A+36B=108 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$54A-54A+36B-24B=108-126$$

Tambahkan 54A pada -54A. Seubtan 54A dan -54A saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$36B-24B=108-126$$

Tambahkan 36B pada -24B.

$$12B=108-126$$

Tambahkan 108 pada -126.

$$12B=-18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 12.

$$B=-\frac{3}{2}$$

Gantikan -\frac{3}{2} dengan B dalam 18A+8B=42. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk A.

$$18A+8\left(-\frac{3}{2}\right)=42$$

Darabkan 8 kali -\frac{3}{2}.

$$18A-12=42$$

Tambahkan 12 pada kedua-dua belah persamaan.

$$18A=54$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 18.

$$A=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$A=3,B=-\frac{3}{2}$$